1-TRIGONOMETRIK FONKSTYONLAR 1-Kesin ve ölçülen birinci resimde verilen detaylı hazırlamak lazımdır Fazın yan taraflarının meyil köşesi ne kadar olmalıdır 1-ABCD tropesıyası (Resim l) eşit kenarlıdır AE ve DF hattı BC’ ye perpendı-kulyardır FE=AB=30mm ABE ve DCF eşıtkenarlı açıların eşıtlığmden(hıpo-tenus ve katetler eşit olduğu ıçın)BE=CF ve BE=_50z30_ =O0mm)ABE eşıt- 2 kenar üçgeninde tg?= AE_= 1_6_=1,3?=5S CEVAP 53 BE 10 2-Iskene pestahinin kalınlığı 3mm ve sivri derecesı&i -nı bulun 2-AC'ye perpendıkulyor olan BC-nı çızelım(Resım 2)o zaman AB=14m ve BC=3mm şartlarına esasen eşit kenarlı ABC üçgenini alırız 12 23 olur AB 10 Sıvnltme e ÇİŞİM; D L r c \ Uf / :■ ı D - 3-D emir yolu hattında yol verilen eğim 10 00CM'dır Dem eklırkı.uftun yolun her lOOOm mesafesinde yokuş lOm-den çok değildir inisin yol verilen değerlen-de hecelerle ifade edin 3-Farzedelımkı demiryolunun yükseliş sistemi 53 resimde gösterilen gibidir SS Şarta gore AC = lOOOm BC =1 Om (yol verilen meylJABC üçgeninde tg=JBÇ_=J0_=0,010 AC 1000 (yol verilen meyi binde ondurjburada =34olur Cevap=34'dır 4-Uçağm kalktığı yerden 750m mesafede yüksekliği 15m-ye ulaşan ağaçlık vardır Uçak hangi derece altında kalkmalı dır ki ağaçlara değmesin 4-Eğer A noktası şartı olarak uçağın kalkma yer mı (Re s im 53) ,C noktası ise ağaçların olduğu yen gostenrse?o zaman aranılan açı.ABC üçgeninden bulu¬ nabilir tg=^ = _15_=0,050,^«?52I Cevap ^=^52' 750 5-Osmanın açılmış ayaklan arasındaki mesafede 4m?genlmış ayaklan arasın¬daki mesafe ise Ğm'dır Osmanın açılmış ayaklarının genlmış ıstıgametı ile m ey dana getirmiş dereceyi bulun 5-59 resimde fermanın sistemi verilmiştir Şarta gore AB=4m ve AC=6m-dır O zaman A&=J_AC = 3m olur 2 ABAe?kenar üçgeninde cos^=AA=3=0,75o^^4f 24' Cevap^4f 24' AB 4 1-TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR. RESİM KÜ SG 6-Ikı mı şlı damın uzunluğu 15m -dır Uzunluğu 9m olan damın 15m'lık damla meydana getirdiği açı ne kadardır 6-33 34 yukarıda 5 sorunun cevaplanmasına bakın 7-Boyu SOcm olan testerenin 30 dışı vardır Bu dişlerin herbınnm boyu ll?lmm olan eşkenar üçgenden ıbaretdır Dilerin ortasındaki derece kaçtır 7-Uzunluğu SOcm olan testerenin ağzında 30 dış olduğundan herdişm otura¬cağı lcm olacaktır Tutalım kı? testerenin dışı resim 59 dakı gibidir O zaman AA=AC=Q,5cm =5mm?BÛ=ll?lmm olur (Şarta göre)ABC üçgeninden alıyo-2 ruzkıtg«=Bp_=lU_=2,22^-?w 6?4^ Cevap «6^45' AD 5 3-Konı(kesik konıjşekıllı detalı tezgahta mal etmek için koninin oku ile doğ¬rusu arasındaki meyi derecesinin bilinmesi lazım Çunku tezgahın tutgacı bu dereceye uygunlaştırılıyor Bu dereceye koninin meyi derecesi dıyılıyor Kesin ve ölçülen 3 ve 4 resimlerde verıken detalann kesırının meyi dere¬cesini bulun 8-Bıncı detal(koni)için koninin meyi derecesi olarak<^BD=n;Resım 3)alınıyor fiBD eşkenar üçgenini buluyoruz tg=AA=l,5=3,f=7f34' AB ikinci det al (kesik koni )ı çın meyi derecesi olarak ABF açısının değen alına¬bilir (Resim 4) Çunku bu açı uygun olarak aranılan açıya eşit dır ABF eşkenar üçgenin den (E. e sı m 4) al in z tgf=AF Lakm,AF=KM=3 öyleyse tgf=_3=0,12 f^6O5l' 2 . 25 Cevap^7f34 ve ^ 6 51 9- 9-Tokar işlerinde det ali ara koni şekli venrken"konılık"tenmı kullanılıyor Ko-nı şeklin de olan etallar ıçın'konılık"deyılınce?onun tabanınm(oturacağı)dame-tre okununun uzunluğuna nı s beti anlaşılıyor Kesik koni şeklinde olan detallar için ise tabanlann dıametrelen arasındaki farkın onu okunun uzunluğuna ora-nı(nısbetı)goz onun de bulunduruluyor Bu nısbete(oranı)bazen yüzdelerle ifade ediyorlar Buyuk dıametrı (yarı çapı) 43mm,kuçuk dıametrı 6mm,uzunluğu ise lOOmm olan detal ıçm,konıklığı de- talın meyi derecesini bulun 9-Detal in konılığı hakkında tarife esasen K-yı şöyle hesaplayabiliriz K=A-dBuradaA-buyuk oturac ağın,d-kuçuk oturacağın ve L-konı okunun L uzunluğudur Boylelıkle,bu halde detal in konılığı söyle olur K=43-36=0,12Detalm meyi açı sı da 3 soruda olduuğu gibi bulunur (4 resıme m ve uygun çozume bakJBurdan buluyoruzkı tgf=43-36=U,06,f=3 26 Cevap 0,12ve3ü26' 2 100 10-Detalın konusluğu % 2,5-dur konusun meyi derecesini bulun 10-Detal in konılığı deyıl ince, oturacak dıametrmın detal in uzunluğuna olan o-ranı dikkate almıyor Koninin meyi derecesinin tangensı ise oturacak radıusu-nun det alı n uz unl uğun a(v ey a yüksekliği ne) ol an oranı anlaşılıyor Açıktırkı, koninin meyi derecesinin tangensı det alın konukluğundan ıkı defa küçüktür oyleyse,%2,5=0,25 onda buluruz tgf=0:025=0?0125 f=0 43 Cevap 0 43 2 11-Detalin açılımının sonu kesik konıs şekilli olup,buyuk dıametrı 9,045mm kuçuk di a 6,40 lmm ve boyu 54mm-dır Konusun mm-e eşıtır Donen dairenin çevresinde derece bölümleri yoktur Boyu 100mm,buyuk dıa42,7mm ve kuç, di a 34mm-ye eşit olan kesik koni şeklinde detal yontmak lazım dır Tezgahın tutkacmı kaç mm, döndürmek lazım olduğunu tayın e dm (3 Soruya bak) 11-Koninin meyi derecesi yandaki düsturla kolay hesaplanabilir tg=D-d(10 sorunun yapılışına bakın) Böylece tgf=9,045-6,401=2,644=0,0245 21 f=f 24" Cevap f 24" 2 54 103 12-Tezgahın tutkacının dönme derecesi detal koninin meyi derecesine eşittir önce bu dereceyi hesaplayalım tgf=42 7-34=0,037 f=5û 100 Lakın donen dairenin çevresi üzerinde derece bölümleri yoktur Tutkacın do¬nen dairesinin 5ı'lık çevre yousu uzunluğunu bulmak gerekiyor C=TDn oldu-ğunu bilerek C=T 240 5=10Tr^lQ,5mm buluruz Cevap^lO,5mm 360 360 3 13-Yaşadığınız evin merdiveninin yükseliş derecesini bulun bunun için ıkı komşu basamak üzerinde 1 azimli olumel er yapın 13-Merdıvenm yükseliş açısı deyılmce merdivenle ufki mustevı arasında ka- lan açı dikkate almıyor Bu açıyı bulmak için merdivenin basamağının yük¬sekliğini ve enini bildirin ek yererlıdır Bu kemiyetlerin oranı aranan açının tangensme aşıt olacaktır 14-Duşme derecesi 36 kırılma emsali 1,45 olan ışık için kırılma derecesini ta¬yın edin (Resim 5) 14-Fizik kanunlarından bize aşikar dırkı,ışığın dahil olduğu muhitin (E. e sim 13 muhıtıjışığı çıktığı muhıte(5 resim A muhıtıjgore kırılma emsalı?duşme açısı s mu sunun .kırılma açısı (Rsınusune oranına eşittir Yanı n=sın&iburada n-kınİm a emsalidir Şarta göre c^=36 ve n=l?45-dır (l)Dusturdan almz sın sın =sın36* °' *' A 1,45 15-Kın İm a derecesi 33 40 ve kırılma emsali 23'e eşit olursa?ışığm düşme de¬recesini taymedın 15-Bundan önceki sorulann çozumundekı (l)dusturdan gorunuyorkı sıik=n sine veya sınc^=l?23sın 3Ü 4üBurdan &ş=5ü 13' Cevap 5IJ 13 16-Işığm düşme derecesi 66?kınlma dere?5l3Ö olursa,muhitin kırılma emsali¬ni tayın e dm 16-Şarta göre ^=66 ? (3 =5 l3Ci-dırn=sırt*-olduğunu bilerek n=sin66 ^1,17 sınp sın5f 30' 17-Paralel yuzlu cam levhaya ı şık duşur (Resım6)duşme derecesi erkinim a emsali RJevhanm kalınlığı dolursajevhadan çıkan ışın 2 defa kini diktan sonra düşen ışından ne kadar aralanır >■ 17-Sorunun şartından gorunuyorkı(E-esım6)sın^Fzn sın^l bu ıkı münasebet¬sin p SİIİÜ n den aşikardırkı sınü=sınf yenı^=f çunkı^ve f-sıvn açılardır Buradan söyle sonuç çıkıyor kı?AB ışını levhadan çıkarken oz istikametini değişmemiştir AB ışınının ilk istikametini uzatmak ve bu istikamet üzerinde olan C nokta¬sında CF perpendkulyarmı indir sek, o zaman CF parçasının uzunluğu ışının yer dehışmesme uygun olacaktır (Resim 6) BFC eşkenar üçgeninde FC=BCsm(^-(3)?eşıtkenarlı üçgeninde BC=BK = d karşılıklı götürme yolu ile aranıl an FC yer değişmesinin cosp cos FC yerdeğışmesmm FC=d sm^-fj) olduğunu buluyoruz Burada cosp n C ev ap d sın (^6) bur dan n 24-Vagonların urojlarda dayanıklılığını temin etmek için dış reis,iç relsden yüksek koyuluyor Dıştaki reisi içteki reisten ne kadar yüksek kaymak lazımkı yükseliş derecesi ?30 olsun,Raylann reisleri arasındaki mesafe 156cm-dır 24-Farz e deli mkı (Re sim 62)'de,dönemeçte yolun kesitini gösteriyor, A noktası dahili relste,B noktası ise ona uygun olarak dış reisle yerleşiyor O zaman eş kenar ABC üçgeninde BC=AC=tg2°30=156 0,0437 ^7(cm) Cevap w 7cm 25-Şehıtlığm ufki hissesinde onun kenarlarına birbiriyle 4m mesafeli ağaçla dikilmiştir Şehitliğin ufaha göre 12 eğimli olan hissesinde gövdelerin mer¬kezlen arasında mesafenin, şehitliğin ufki hissesinde olan ağaçlar arasındaki mesafeye eşit olması için ağaç dikmek için açılan kuyular arasındaki ara ne RESİM KÛ [İÜ olmalı 25-ABC üçgeninde (Resim 3) RESİM Kü AB=ACM Cevap cos/2 0,9731 26-Uçak,arama merkezine verdiği haberde o dıyorkı aranılan yerde 1250m yüksekliktedir Uçak 12 45'lık açı altında görünürse aranılan yerin merkezden hangi mesafede olduğunu bulun 26-Farz edlımkı,uçakB noktasın da, ar anıl an cisim ise C noktasında (Resim-64)yerleşıyor Onda LBAO12*5l' ve BOl250m,aranılan mesafe ise AC olur ABC eşkenar üçgeninde AB=BC ctgA=1250 ctgl?4^ =1250 4,419^525(m) Cevap îtf5525m 27-Su kuyusunu kolay doldurmakıçm onun yerden 2,5m yükseklikte olan yu¬karı hissesine eğimi 10 olan bir yol yapılıyor Bu yolu düzeltmek için kuyudan hangi mesafede başlamak lazımdır 27-Farz edelımkı,BC sıla kuyusunun kulesinin duvarıdır (Resim 62) BAC açısı ise 10 dr O zaman aranılan mesafe AC=BCctgA=2,5ctglO=2,5 5,671^ 14,2(m) Cevap w 23,4cm 23-Merdıvenm her basamağının eni 30cm,merdıvenm yükseliş açısı 33 dır Bir 13-Oğrencı hazırladığı gönye ile orağın ufkılıyını ölçünce aralık alınıyor (Re¬sim?) Ocağın yuzunun gönye s tununun kenarı ile meydana getirdiği meyi de¬recesi nasıl hesaplanır Bunun için hangi ölçme işlen lazımdır 13-Sobanm ust yuzu yanında ışık gelen yerin enini ve sobanın uzunluğunu ölçmek lazımdır Bu verilenlerin oranı aranılan açının tangensme eşit olacaktır 19-(Kadall32)m arkalı araba aşağıdaki yokuşları çıkabilir 1 defada 23%2 de¬fada 12% 3 de 6% her demir zamanı bu arabayla aşılabılen en buyuk yokuş derecesini bulun 19-Otomobıl A noktasından B noktasına kadar olan yokuşu çıkmışsa, o zaman yokuşun BC yüksekliğinin AC yolunun ufki mustevı üzerine prjeksıyosma o- ranının yüzdelerle ifadesine yüzdelerle yokuş deniyor Açıktır ki bu yüzdeleri onluk kesirle ifade etsek, o zaman bu oran yokuş açısının tangensı olacaktır Birinci genişte en buyuk yokuş derce sı %23=0?23olacak?boylece tg^=0?23 ve^=İD ikinci genişte tg^=0?06 <^^^3 Cevap 7^l5Wove^3 20-Boyu 2?15m olan paya, 2?54m boyunda gölge düşürüyor güneş yüksekli¬ğini bulun 20-60 resimden açıtırkı tg«=2,15' ^=51*49 Cevap ^57*49' 2,54 21-Ufukla 3 30-lık açı meydana getiren yokuş yolun eğimini bulun (Soru3'ba; 21-Yolun meylı(eğımı)lkm ufki yol uzunluğunda yokuş yüksekliğinin metre¬ lerle değerinin yolun lOOOmetresme oranı ile ifade ediliyor (3 ve9 soruların çözümüne bakın) -^ RESİM Kü Boylece?yolun eğimi rakanla değen verilmiş açının tangensme eşıtdır tg 1*36=0,0279 yolun eğımı^0,028 oluyor Cevap ^0,023 22-Duz hatlı demir yolunda A ve B noktalan arasındaki orta yokuş derecesini bulun 22-A noktasından ufki hat geçirilir se,B noktasından ise bu duz hatta BCper- pendıkulyan indirilirse,o zaman açıktırkı.ABC uçgenmde(Resım 60) tgA=BC=3=0?0035?LA^29' Cevap ^29' UÇGENLEEIN ÇÖZÜLMESİ 23-Bır asken noktaya bayrak asmak ıçm?yere 56 açısı olan çelik telle gerilen direk dikiliyor Gencinin direkten mesafesi 2?5m ol ursa, çelik teli direkten 3 hangi yükseklikte bağlamak lazımdır 23-Farz edelımkı.A noktasında AB meftılı AC direğine sıkıştınlıyor (Resim 61)o zaman şarta göre BC=2?5m ve LABC=56 eşkenar ABC üçgeninde g^6>2,5 l?4326^3?7(m) Cevap=3?7m Yokuşun yuksekığı h=Lsmti=:7S0 0?006îü47cm(kuçuk açıların sınus ve tangenslerı eşit olduğu için, cetveli ere bak) Cevap îü47cm 36-Metal üzerindeki yatsı dairelerde çevresi ile beraber mesafese dametrı 400mm olan 12 delik açmak isteniyor Ikı komşu deliğin merkezlerini birleş¬tiren hattın uzunluğu hesaplayın 36-Malumdurkı, ıkı komşu deliğin merkezler hattının aranılan uzunluğu veri len dıametrılı çevre dahiline çizilmiş duzgun an ıkı köşelinin bir tarafı ola¬caktır Onu?duzgun çokkenarlmm taraflarının sayısını ıkı kat artırmak yoluyla bu¬lunan (asjmalum yolla hesaplamak olur Lakın onu hem de trigonometrinin tatbiki ile çözmek faydalıdır Hususen çevrenin radusu(veya dıaametnjkesır ile ifade olunduğu halde hesaplama ışı kolaylaşıyor Evvelce bu sorunun umumi şekilde halledelim Tutalım ki ? AB=a -çevreda-hılmde ızılmış duzgun n-kenarlının bir tarafıdır O zaman merkezi açı ABD=360>OC açısı ise ^80^(Resım 69) olur n n AOC üçgeninde AC=aî=,sın lBQDBurdan,a=ZR sın 180=D sın 180Bu soruda Z n n l2^ Cevap îülO3,5mm 37-36 soruyu çozerken çıkarılmış düsturdan istifa edersek aı= L sın 130=A sın 18 veya 5=L smlSburdan h= 5 = 5 N\6m2(cm) Cevap ^16,2cm anlSD 0?3090 33-Flans üzerindeki ıkı komşu deliğin merkezlen arasındaki mesafe 50mm dır Deliklerin sayısı 12 olup?bır çevre üzerinde yerleşirse bu çevrenin dıamet- rının( Yarı çapı, çapı) olcusu ne kadar olur 33-Içerıye çekilmiş duzgun n-kenarlının tarafı için olan düstura esasen (36 - soruya bak) alırız ^f i sın 15* i=_aııw_50_wl93,2Cmm) Cevap îül9372mm n 39-OAB üçgeninde AB katetı kürenin radıusuna,yanı 7?5mm ye,AOB açısı ise AOC-nın yarışmamanı 9 'ye eşittir (Resim 9) O zaman AO AB w7,5 îü47,95(mm) 0,1564 Değırceklı yatağın dahili değırlenme dıametrı OA=2(OA-AA)=80?9mm? dış değırceklenme dıametrı ise dahili di am eti r den, değir ceğm ıkı dıametrı ka¬dar çok olacaktır Böylelikle dış deırlenme dıametrısı için 30+80,9=110,98mm) Cevap w 80,9mm ve ^110,9mm 40-10 Resimde detalın en kesin gösterilmiştir (oküler mm cınsmdenJKesıym alanını tayın edin 40-Aranılan 5 olanını hesaplamak için kenarları 200mm ve HOmm olan eş-ken arlının 5, ol anın dan trap e siy o şeklinde olan oyuğun s ağasını çıkmak yeter¬lidir (Resim lOJTrapesıyanm olanına kenarları 75 ve 32mm olan S^eşkenarlı-sının olanı ile S3ve ^gıbı ıkı eşkenar uçgenm olanları farkı gibi bakmak olur Bu üçgenlerin her birinin 32mm olan bir katetı ve uygun olarak İZ ve 10-lık tepe açıları malumdur S=J_3^tgl?ftilO8,8mnf,St l.S^tglO^ 2 2 S=S-S+S+S=200 110-75?32+108?8+90?3=19799mrn2w198cn^ Cevap 41-Okulun girişinde direkten fener asılmıştır (Resim lljdıregm AB ve BC çubukları arasındaki derece 48 dır Fenerin ağırlığı 12kg olduğunu bilerek,AB çubuğuna giren ve BC çubuğunu sıkan kuvveti bulun 41-P kuvvetini ıkı toplanana ayıralım(Resım llj^lkuvvetı BC çubuğunu sı¬kan ve R kuvveti ise AB çubuğunu çeken kuvvettir Eşkenarlı BÇ"P açısından buluruz R=p tg 42=12 0,9004 ^10,S(kg) Ç= p = 12 = 12 *tt!6(kg) Cevap ^10?8kg ve 16kg cos(90-48) cos42D0?7431 42-Maddı noktaya P=12kg ve ^=34kg'lıkıkı kuvvet tesir ediyor Kuvvetler arasındaki açı^=64 24'dır Aynı kuvvetlerin yerini tutan yerini tutanın veri¬len kuvvetlerin her bin ile meydana getirdiği dereceyi (açıyı) bul 42-Fızıkten bilıyoruzkı.verilen kuvvetlerin yerini tutan?sayıyı değerce ve isti-kametçe aynı kuvvetler üzerinde kurulan paralel uğramın di ag on alın a eşit dır yedekleyıcıyı bulmak için ABC üçgeninde AC kenarının uzunluğunu hesap¬lamak yeterlidir (Resim 70)Kosunusler teoremine göre buluruz AC?=ABVBC-2AB BC COS(18Cf-^)veyaR'=p+g+2pg C0^-=ArAz4+2 42 34 ABC açısı (180-^)-ya eşittir ABC üçgeninden sinüsler teoremine göre R =9 burdansınp= 9 sın**= 32 511164*24' lgsın p=ı,6622 ve p=2 p R 62 S O zaman ^-p =6^24I-27"21I=37'3 Cevap ^62,8kg,37°3' ve 27°2l' 43-Ikı kuvvet bir bin ile 30 lık açı meydana getirerek tesir ediyor Bu kuvvet¬lerin yerini tutan bu acıyı 2 5 oranında bölüyor Toplanan kuvvetlerden kuçu- ğu 3?5kg olursayennı tutanın ağırlığını bulun 43-^=30 ve g=3?5kg olalım(Resım 70)o zaman?sorunun şartından çıkıyorkı (3 =2,30=32 smuslar teoremine esasen ABC üçgeninden alırız 5~ R =9 burdan R= 9 sın^ değerlerini yerme yazarak hesaplarsak sın(18(W anp sın fi R=3?5 sınSO, R-^6?5kg Cevap îü 6?5kg 44-Surtunme derecesi p=3 43' olursa 225 kg ağırlığındaki cisim ufki satıh u- zere eşit suretle hareket ederken yüzeye tesir eden kuvveti bulun 44-A cismin yaslandığı ufki satha P kg-lık kuvvet ile basınç yapıyor P?kuv-vetı normal reaksiyon kuvveti olup?P kuvveti istikametinin aksine yönelmiş¬tir A cismi dayak sathı üzere harekete başlayınca aynı cismin hareketine kar¬şı yönelen sürtünme kuvveti meydana geliyor (Resim 12) Yedekleyıcı P kuvveti olup?P kuvveti (Qve P?ıçm)ıle P?kuvvetı arasında kalan P açısına sürtünme açısı deniliyor Sürtünme em salı (k) sürtünme açısı¬nın tangensme eşıtdır Sürtünme ^kuvveti cismin dayak sahasına gösterdiği basınç kuvveti ile sürtünme emsalinin çarpımına aşıttır ^=KP veya^=P tgp Ufki mustevıde cismin kayması için rakamı değerce surtume kuvvetine eşit olan ve ana ters yönelen bir kuvvet kullanmak lazımdır Şarta gore,P=225kg ve p^S^S'o zam anQ =225 tg S'43^34,SkgCevap 34,Skg 45-Ağırlığı 12kg olan cisim ufki mustevı yuley üzerinde eşit suretle haraket ederken?dayal satğma paralel cisme etki eden kuvvet 24kg-dır Sürtünme de¬recesini bulun (Resim 12'ye bak) 45-Ç^24kg ve IM20kg farzedelım^=P tgp düsturundan (44 soruya bak) tg=^==24_=0,2,p=ll"l9l Cevap ll"9" P 120 46-Ağırlığı P=120kg olan yuku sabit ıkı blokla kal diriyorlar (Re sı m 13'e bak) A"yı geren ve B'yı sıkan kuvvetlen bulun 46-(71resımde)akanatmın ve b direği çubuğunun çekme kuvveti gösterilmiş- tır (JlBP eşkenar uçgenmde.BP hipotenüsü şöyle hesaplanabilir sın42"sın42° KÛ 71 PÇ> katetı ise aşağıdaki gibi bulunur PQ=BQctg42=150 ctg42 îtf 167kg Cevap w 167kg ve « 224kg 47-Ağırlığı P=120kg olan cisim ufukla =32 açı meydana getiren duzenel üzerinde yerleşiyor Bu cisim düzeneğe hangi kuvvet ile basınç gösterir (Re¬sim 14'ebak) 47-P kuvvetini karşılıklı papendıkulyor ıkı toplanana ayıralım Şöyle ki R kuvveti mail mustevıye perpendıkulyor^ küveti ise bu mustevıye paralel ol¬sun (Resim 14)LPAR= ^kenarları karşılıklı perpendıkulyor olduğu için) R kuvveti APR dik üçgeninden bulalım P=PCÜS^=125 cos32 w 106(kg) Cevap 106kg 43-M cisim kendi ağıl iğinin tesiri altında duzemek boyunca aşağıya kayıyor (Resim 14)surtunme emsali K-ya eşittir Cismin hareket suretinin serbest in¬me suretinden m defakuçuk olması için mustenının ufka göre meyi derecesi ne kadar olmalıdır 43^17 soruda olduğu gibi yine P kuvvetini R ve Qgibi ıkı toplanan kuvvete ayıralım **^ kabul etsek o zaman R=P cosx ve Q=P sınx sürtünme kuvve¬tini F-le gösterdim o ?R kuvveti ile ilişkilidir ve F=KR=kP cosx olacaktır Cismin meıl mustevı üzere kayması ^Ive F kuvveti er inin farkın a eşit olan küvetin etkisi altında boşveriyor yanı Q-F=Psınx-kPcosx Bu kuvvetin hızı şöyle bulunur Psınx-kPcosx=P (smx-kcosx)burada m-cismin kutl esidir Lakın P=g ağırlığı mm m ağırlık kuvvetinin hızıdır Yerdeğıştırme yaparak alırız g(sınx-kcosx) Şarta göre cismin hareket hızı serbest düşme hızından m defa azdır Yanı_9_ dır Demekkı?bele bir formül hazırlamak olur g(sınx-kcosx)=9 veya m sınx-kcosx=l m m Yardımcı f açısını dahil ederek tgf=k derek?formul aşağıdaki gibi olur sınx-tgf cosx=l veya sınx cosf-sınf cosx=cosf burdan sın(x-£)=cosf m mm (l)Sorunun mezmununa esasen o?ol olursa?buşart verilir Öncekinden malumdurkı, -J^H-^ll^bunu dikkate alıp(l)denklemini halledince alırız 2 2 x-f=arcsın(cos) x=f+arcsm(cosf)?burdan tgf=k-dır m m x açısı için bulunan ifadeyi bil av asma, s orunun şartında verilen paramet¬relerle ifade edebiliriz smx=sm|f+arcsın(cos£)]=sınf cos gr c sı n( c o sF)_}+-c o sf c o sf=sınf m-c o s Jf+c o sfr m m m ^ m (2)tgf=k kuralına göre cosf 1=1 ,sınf= tgf = k Jl+tgf lÜtf h-Hğî (2)eşılığmde yerdeğıştırme yapsak alırız sınx= k n(l+fe)-l + 1 =kjm(l+tf)-l+l bur dan x ar esin k|m(l+lt)-l+l 1+k2 m(l+l£) olur Cevap kW(l+ft)-l+l olur m(l+k2) 49-Ağırlığı 20kg olan cismin mail mustevı boyunca yukarı doğru çekmek için ne kadar kuvvet lazımdır Mail mustevı ufki a 18 açı meydana getiriyor (Resim 14 bak)Sürtünmeyi dikkate almayın İÜ RESİM KÜ M 49-Cismin ağırlığını ıkı toplanan ayıralım(47 soruya bak) ■ Q=PsmlS* 20 0?3090îü6?2(kg) Cevap ^ 6,2kg 50-Hızı 540 4m/s olan uçak Ğm/san hızla doğudan esen rüzgarlı havada kuze¬ye uçuyor Pilot hareket hattından çıkmak için uçağın okunu meridyenle han¬gi açı altında yöneltmelidir 50-Uçağın hızını V'le rüzgarın hızını V ile göstersek alırız V=540 km/saat V=6m/sanıye=21?Ğ km/saat Verilen şartlara göre hızlar parelelogramı kuralım(Resım 72) 1-Kesin ve ölçülen birinci resimde verilen detaylı hazırlamak lazımdır Fazın V^ vektörü kuzeye/^ vektörü doğuya yönelmiştir Demekkı, bu vektörler birbirine perpendıkulyor istikam etde yönelmiş ve onlar arasındaki açı diktir Uçağın oz hareket hattından çıkması için,pil otun yönelttiği uçak oku ve meridyen arasında kalan açıyı x'le ifade edelim Ov?v dikken ar üçgeninden buluruz Sınx="\^=21,6=0,040 Vx 540 Bılmıyorkı o359m2 Cevap fti 359m2 cos40*cos40* cos40* 63-Çatının üstünde ağırlığı Pkg olan kar vardır Çatının umumi sahası Sm2dır Çatının meyi açısı P olur sarkarın çatının her m-ne ettiği basınç g kuvvetini bulun 63-Çatının her m 'ne P kg kar yığılmıştır P kuvvetini,bin çatının satğına pe¬pen dıkulyor Q kuvvetine oburu ise damın s atğına parelel olan F kuvvetine ayıralım (Re s im 79) Perp en dıkulyor Ç toplananı istenilen basınç olacaktır LRAQ=Fdır (kenarları karşılıklı perp en dıkulyor olduğu için) RA^I üçgeninde ^=R cosf=^_cosf (kg) Cevap P_ cosf kg dır S S D 64-Eni 3m?uzunluğu 15m ve çatısının eğimi 35 olan ıkı eğimli evin ustunu örtmek için kaç m demir levha kullanılır Eğilme ve başka kayıplar %5 teşkil ediyor 64-Çatının her kan atının L uzunluğu,evin uzunluğuna yanı 15m'ye eşit ola-çaktır (30 Resim) evin en kasıtı gösterilmiştir "JL AA=ACM,ABA üçgeninde AB=Afc= 4 2 cos35 cos35 =2L AB=30 4 = 120 146?5m Bu olana eğilme ve başka kayıba harcanan cos35 cos35 %5 'ı de ilave etsekjazmı olacak demirin umumi miktarı -Sil54m2 dır Cevap ^ 154ın dır 65-Kesıtı eşıtkenarlı tropesıya olan kum tepesinin yukarı eni 2?6m-ye boyu ise 3m-ye eşittir En buyuk yatımla yığılan (^=39)bu kum tepesinin aşağıdan eni kadar olur 65-31 (re sı m deki) kum tepesinin en kesiti gösterilmiştir Şarta göre BC=2?6m? BF=3m ve LA=LD=39 Kum tepesinin aşağı eni bele olur AD=2AE+FK Lakın7AE=BF ctg 3?=3 ctg 3 9° yer değiştirme ve hesaplama ya¬ parsak AA=2 3 ctg3?+276îül0m Cevap ^lOmolur 6 6-Kan al in dibinin eni a'ya?kan aldaki su sathının eni b'ye duvarın meyi dere¬ cesi ise f'ye eşittir (Resim 19) su s akı minin "Canlı kasırım "sahanın ve kana- nıl"ıslak perimetrını"hesaplayın 66-Farz edelımkı.ABC trapesıy ası (Resim 81)kanalın canlı kesitidir (Çevril¬miş hal de) şarta göre LMBA=f Bc=a,A A =6'dr S^ LBAF=LMBA=f ABF dik üçgeninde AF=b-a_ ve böylece BF=AF tgf= 2 b-a tgf (l)ıfadesmde yerdeğıştırme yapsak S =b+a b-atgf=b-atgf 2 2 2 4 Islak prımetrePj göyle bulunur P^ZAB+BC Lakın AB=AF=b-a cosf 2cosf O zaman aranılan asi ak prim etr e aşağıdaki gibi olur P¥l =2 b-a+a=b-a+a Cevap b-a tgf b-a +a olur 2cosf cosf 4 cosf 67-Demiryolu yatağının kesin eşıtkenarh trapesıya şeklindedir Bu trapesıya- D nm ust oturacağı 2?9m yan tarafı 6?0m'dır Oturacağa 32 lıkaçı ile meyi eder Yatağın yüksekliğini ve oturacağını hesaplayın (Resim 19'bak) 67-Şarta göre BC=2,9m,m,AB=CD=6,0m ve LA=3?(Resim SİJABF dik üçgeninden buluruz BF=ABIsmA=6?sm32 w3?2(m) Kum tepesinin oturaca¬ğının eni şöyle olur AD=2AF+FK Lakın AF=AB cosA=6 cos32D^5,l(m),FK =BC=2,9m,AD=2 5,l+2,9wl3,l(m) Cevap ^3,2m ve w 13,lm 63-Mahsuku saklamak için silonun ölçülen ve en kesin metre ile Resim 20' de gostenlmıştır Silonun yerden yüksek olan bir hissesi saman ile ortulur Silonun uzun¬luğu 12m mahsulün hususi ağıhğı 2 olursa onun kenarlannı sagulı mustevıde "3 yerleşmiş hesap edip stoklan de ilen mahsulün mıktannı bulun 63-Sılonun en kesiti onun 5 oturacağı?uzunluğuıse onun H yüksekliği farz edelim O zaman siloya pnzmagıbı bakarak buluruz V=SH oturacağın alanına kenarları 0?4m ve 2m olan dik açının ile ABCD trapesıy asının alanlan toplamı gibi bakabil in z (Resim 32)uçgen CFD-den,FD=CF ctg4l5=076 ctg40° O zaman BC+AD=2AD-2FD=2(AD-FD) ABCD'nı alanı söyle olur ABCD alanı=BC+AD 0,6^2(AD-FD) 0,6=(2-0,6 ctg40) 0,6îü0,78m' 2 2 A Silonun en kesiti sahası şöyle olur 2 0,4+0,7Ü ^l,78m Silonun Hacmi 1,58 12 M 18,96rrî Silodaki buğdayın miktarı 18,96_2_=6,64^6cm Cevap 6m 3 O 6 9 -Farz e delim ki .kanalın kası ti ABC üçgenidir (Resim 33)Bu üçgenin alanı olur Burdan 0,25-Kanalm verilmiş derinliğidir 0,25 tg53 ise ABC üçgenin AB otur ac ağını nm yarısıdır Aşağı da buluyoruz S=0?0625 tg5ü 5ü0?lm2Bır saatte gonovacanm mahsul darlığı S25 7=75m3olur Prizma hacminin V^SH olduğunu bilerek (63 cevabı bak)H=Y olur S H=75 0,l=750m Cevap 750m olur 70-Farzedelım?ABCD tropesıyosı kanalın kesitidir (Resim 34)) AF=l,8-04=0,7(m)AFD üçgeninde tropesıyası FD yuk-2 D s ekliği şöyle olur FD=AF tg31^J 0,4 2m Tropesıyanm alamda 3=1^3+0^0,42^1,1 0,42îü0,46m2 Kanalın uzunluğu prizmanın hacım düsturunda V=S H kabul etsekbulu-mz H=V_=_360=782,6w783m S 0,46 Buradan S-kanalmkesıtı,H-onun uzunluğu Vıse kazanın çıkardığı topra¬ ğın hacmidir (yada 1 saatlik verimi) Cevap îü733m 71-21 Resimde sılas kuyusunun kasıyı(ölçüler metre ile veriliyor)gösteril¬ miştir Aynı kuyunun uzunluğu 20m olursa o ne kadar sılas tutar (Sılasun hu¬ susi çekisi 2 -dır) T 71-Hendeğin kesitinin alanını hesaplamak için onun ust taraftan enini (başka değişi e .hendeğin buyuk oturacağını) bulmak gerekir 21 resimden molumdur-kı?kesıtın alanı şöyle olur S=2 1 3+2 3 ctg54& 3=0 3+3 ctg54) 3^12m2 2 H en deyin hacmi î^240m3olur ve o? 240 2-^16 omsılo Cevap ^jl60m 3~ 72-Oncekı soruda bahsedilen sılas kuyusunun kılbetondan orulen dıbmm ka¬lınlığı ?ve böylece de yan ve şahulı duvarlarının kalınlığı lOcm-ye beraber olursa onun yapılmasında ne kadar kıl beton lazım olur RESİM KÜ \ y D 1 u. ■ [ Fi T \ 72-Once yan duvarların anını bulalım L=3 w3,7m Lazım olan kıl betonun sın 54™ hacmıa-) Yan duvarlar ıçm 1,8 377 0,1 20 « 1473m5 sine etki etmiyor Demekkı, aşağıfekı vuruğun enkuçuk değerini bulmalıyız 2-cosx Cevap x=j[ sınx 3 6-HARMONIK RAKSLAR (HAREKETLER) Trigonometri dersinden bilinmelidırkı m noktası tek daire üzere artı istik¬rarın etre hareket ederse, onun oklar üzerindeki projeksıyası uygun olarak şa-gulı ve ufki dıom etrel er boyunca hareketde oluyor Tutalımkı nokta radı osu R olan çevre üzere eşit suretle ilen yönde hareket ediyor (Resım44)Farzedelımkı herhangi nokta Ma noktasından harekete baş-lıyorve saniyede çevre üzere R devir süratle hareket eder ve t saniyeden son¬ra çevrenin M noktasına ulaşıyor M noktasının kordınat oku üzerindeki projeksıyasını y?apsıs oku üzerinde¬ki proj eksi yasını x? AMyı ise file işaret etsek cosf=x sınf=y buradan x = T R Rcosfve y = Rsınf(1) AM govsunu faradyan kabul edelim nokta çevrenin M noktasından M noktasına gelene kadar Z~irn radyan hızlahareket etdığmden f saniyede bu nokta 2~imt radıanlık gous veya wt radıanlık gous çeker?burada w = 2~irn - dır O zaman f=€ twk (2) 2 yi l'ın eşitliğinde yerme yazsak x=Rcos (wttf) (3) y=Rcos(wttf) (4) Alınmış duşturlar x ve y noktalarının istenilen andaki durumlarını gösterme¬ye imkan verir R sın (w t+f Jfoksıyonu ile ifade edilen AB dıametrı boyunca y noktasının hareketine sade har m onık hareket deniliyor Bu zaman nokta, AB parçasında ya yukardan aşağı yada aşağıdan yukarı hareket edıyo 3 ve fonksıyonlanndakı R sabitine hareketin ampl ıtu da sı, denıyo Bu sabit x ve y prey eksi yal arının orta O durumundan en buyuk eğimini gösteriyor f=wt+f0 değişen raksın fazası?sabıt f ise raksın başlangıç fazası denıyo Çunkı hareketin başlangıcında l=o olduğunadan f=f oluyor T ise Raksın perıodu adlanıyo ve su düsturla gostenlıyor,T = 2"|f (5) Perıadm noktasının tam bir daire çızmesı?onun x ve y pr oy eksıy al arının ı-se tam rakı etmesi için geçen zaman fasılasına aşıtdır (Gerçekten de M nok¬tası tam birebire ç eken e dek, onun x ve y proy e siy asının her biri .başlangıç du¬rumdan çıkarak uygun ol arak ufki ve şagulı dıametre üzere sonuna kadar git¬miş oluyor Sonra ters ıstakametde dıametrı obur uçuna kadar gıdıyo ve yeni- Eşken arlının dıakanalı ve oturacağı arasındaki CAD açısını x alalım O za¬man ?ACD üçgeninin den buluruz b=d cos x asm x=kd cos x sın x yer değiş¬tirme yaptıkmı P^=kd cos x d2sm2x=kd cos x sın2x Malumdurkı^k ve d sabittir Ona göre de aşağıdaki nasıl maksimum olursa p de maksimum olur Cos x sın2x 116 sorunun çozumundekı muhakımelere esasen Cosx=^ 1 =d 1 =J3 smxj2 = 1+2 3 3 1+2 =J2 =\6 O zaman b=dJ3 ? h=dJ6 ? x=arc cosj3_ 3 3 3 3 3 Cevap x=arc cos^p~?b=d^ve h=dj6 olur 3 ~Y 3 120-Venlen L doğrusuna göre en buyuk hacmi olan koniyi (duz?daırevı) bu¬lun 120-Doğru L olan en buyuk hacimli koni (duz dairevi) bulun (Resim Eğer?AS=L (Resim 99)ve bu hatla koninin oturacak mustevı sı arasında kalan açı = olsa?o zaman?V=l"irr h 3 Lakın r =L cos^ ve h=L sınt« olur V=J_ L Cosc^sın->= 116 sorunun çözümüne esasenV =_][L_ _3 " 3 Bu vakit cos =J2,smoJl,ı=Lİ2 ve h = l ? 9& 3 3 3 3 Cevap r=L(2\ h=J_, V^ ^2TI? olur 3 İT """ 9İ3" 121-Kanal yapı lirken .değerini azaltmak için onun en kesiti ölçülerini maksi¬mum azaltmaya çalışıyolar Kanalın canlı kasıtı h?bu kesitin sahası 5 olursa?ıslakprımetrm en kuçuk 121-Resım 66'dan goruluyorkı.kanalın ıslak penmetrı Psl=2AB'BC?BC=^ a-hmABF üçgeninde AB=_h_ olur O zaman Pı=a+_2h_* (1) sınx sınx Kanalın canlı kesiti 5 ise S=BC+AD h olur Lakın AD=B C+2AF=a+2h ctgx 2 Böylece S=a+a+2h ctgx h veya S=(a+h ctgx) h , 2 Bu denklemi a'yagore hail etsek S=ah+h2ctgx?ah=S-h2ctgx veya a=S-h ctgx 1 h" (l)eşıtlığmde yer değiştirme yaparak buluruz P =S + h(2-cosx) S h smx h sınx h kesri ve ikinci toplanandaki h uyruğu sabittir h aynı toplananın değişme- 117-Yuvarlak masanın merkezinde çubukla lamba acılmaştır Masanın kenar¬larında en çok aydınlanma olması için,bu lambayı hangi yükseklikten aşma¬lıdır 117-Farz edelımkıjamba A noktasından asılmıştır ve bu lamba masanın sat- hin dan AC mesafededir Lambayı masanın çevresi üzerindeki her-^hangi nokta ile birleştiren AB doğru parçası masanın mustevısı ile / \ B acısı teşkil ediyor (R_esım 96) ı r Farzedehmkı,AC=h,AB=L,BC=rveLABC=p 'dır Fızıkden malum durkı, A noktasında ışığın şiddeti aşağıdaki usulle bulunabilir l=ksınp(l) Burada k-mutenasıplık emsali olup sabıtdır Dik açılı ABC uçge- IÎ nınden L= r bu ifadeyi (l)eşıtsızlığıde yazsak l=k sınp cos cosp Bulunmuş hasılda k kesrinin değen sabıtdır Demekkı 3-nın en buyuk değe- rı aşağıdaki hasıl en buyuk değer alınca alırız Z=sın|3 cos Önceki soruda oldağu gibi (Sorunun çözümüne bak 116) Cos fj =^|2 = İ2 ve sınp ^J_l_ o zaman 1+2 3 3 ABC dik üçgeninde h=rtgp^ 0,7r Cevap w 0,7r 2 113-Hıpotenusu verilin eşkenar üçgenin pnmetnnın en kuçuk değerini bulun 113-ABC üçgeninde (Resim 97)AB hipotenüsünü C-ye eşit alırsak katetler için almz AC=C cos^=ve BC=C sın&*üçgenin penmetn 2p ise 2p=C+Ccosc-=ve BC=C sın&*Parentezdekı ifadeyi çevirelim 2 4 4 4 yerdeğıştırme yapalım 2p=C|_l+ 2cos (^-T)! 4 Aşağıdaki hal de .parantez deki ifade en buyuk değer alacaktır Cos (**-TT)=1 veya ^-¥=0 , **=![ 4 4 4 Demekkı üçgen eşkenar olmalıdır Cevap 2p=C 1+İ2) 119-En kuçuk dametn d olan kal aş dan ? aşken arlı kesite ve en buyuk kuvvete malık olan kır ek hazırlanması isteniyor Bılınmektedrkı direğin sağlamlığı onun taban ve yüksekliğini karesi ile mütenasiptir istenen direğin en kesitinin olçulennı (taban ve yüksekliğini) bulun 119-Şartagore kesit, di akan alı d olan eşkenarlıdır (Resim 93) Eşken arlının AB=h tarafını yükseklik ve AI>=b tarafını oturacak kabul edelim Direğin sağlamlılığı şoylebulunur P=kbh2 .burada k-her hangi mutenasıplık emsalı?b ve h ise uygun olarak aşken arlının oturacakve yukseklıklendır b-a_ Sağ tarafdakı kesrin butun hadlerini x'le çapsak buluruz x x tflf=b-a x+ab x Aranılan f açısı sivridir Demekkı bu açının en buyuk değerine onun tangensı- nın en buyuk değen uygun olacaktır Demekkı?b-akesnnm?x'm hangi değer- x+ab x lerınde en buyuk değer alacağını bilmeliyiz Verilen kesrin sureti sabıtdır Bu halde kesr onun mahreci x+ ab en kuçuk olduğunda?en buyuk değere malık x olur Cebrden m al um durkı .istenilen pozitif ıkı x ve y adeti en (rakaml arı) ıçm aşağıdaki münasebet doğrudur x+y^Jxy" 2 Burada aşıtlık işareti ancak o vakit doğrudurkı?x ve y sayıları eşit olsun?yanı Böylece (x+ab) toplamı?o zaman en kuçuk değer alacakkı?x=ab olsun?yanı x x=Jab (m) Cevap -\ ab m 116-Aşağıdakı çarpımın en buyuk ve en kuçuk venlermı bulun Y=Cos\ sınmx L x'm değişme segmentı 0 5.x Cırdır Buradan ve m veriler 2 pozitif rasyonel sayılardır 116-Cos2x+sm2x=l?co^x=p ve sın2x=g ile ifade edelim O zaman 2 2 Cebrden bılıyokı?p ve g argumentlennm toplamı verilince aşağıdaki hallerde yukandakı hasıl en buyuk değer alabilir 2p=2g veyaf£=km?g=kn burada k-mutenasıplık amsalı olup aşağıdaki m n 2 2 şattan bulunuyor km+kn=l burada k=2 yer değiştirme yaparak buluruz p= m g = n cos x =q m ,sınx= m+n m+n nı±o m+n x=arc coslm Ymax= mm+ ti* Ymın-un en kuçuk değen sıfırdır m+n (m+n)11^ Boylece?o-$x^ TT segmentınde, aş ağıdaki b er ab ersizlikler doğrudur 2 m İL İ m~ ÎT o £ cos x sın x £ A m + n AE'nın değen (l)yerıne y az ar ak, s adel eştikten sonra buluruz AD=|2Qsınf Cevap İ2Ç sm( +£) ve I 2Q sınf ^J y ı I-K \l ı-- sın^ sini 5-MAKSIMUM VE MİNİMUMU AİT EN SADE SORULAR. 113-Başlangıç hızı V olan kurşun namludan ufuka saçısı ile meyilli atılmış¬tır Uçuş mesafesinin en buyuk alacağı -^açısını bulun (Havanın mukavametı dikkate alınmıyor) 113-Fızıkten malumdurkı.başlangıç hızı Vo olan ve ufka ■>= açısı altında atılan cimin uçuş mesafe aşağıdaki usulle bulunuyor S=Y sm2^Bu usulle V verilen soru için sabit durumdur Mal um durkı?uçuş g g mesafesi saçısının değişmesi ile değişiyor Böylece soru y=sın2^ fanksıyo-nun mezm umuna göre -^ açısını uc açı hesap etmek yeterlidir O<^=ve=açısı ile görünüyor Bu sahadan AC tarafına AED=f açısı ile meyi eden DE doğrusunun yardımı ile DAE=Qm olan sahayı kesmemiz isteniyor AE ve AD kenarları belli oldu¬ğundan bu doğruyu çekmek kolaydır Bu kenarların uzunluğunu bulun 112-ADE üçgeninden (Resim 94)smusler teoremine göre buluruz AE =AD ,burdan AD=AE,sınf (1) sınf^+f) sınf sm(f+ ) ADE üçgeninin alanı şöyle olur Ç=l AD AE sın^=AE sın^ sınf Burdan AE=İ2Q sınf +£) 2sın(»H-£) sın^sınf tgf+1 tgf+tg45] cosf 4^f4^(f+4^) (f4$ gt Buluruzkı tg x-y |=tg(f-4^J Buradan tg x-y=tg(f-4^) tg x+y= ~2~~ =tg(f45)tg^fp+7x-y=arctg|tgCf45)tg 2 2" veya x-y=2arc tg[tg(f 45) tg ==22 12-lıkBC tarafı p=lCf2S-lık açı altında görünürse ABC üçgenin içinde yeralan M nok¬tasından tngonometrıkışeretlere kadar olan mesafelen hesaplayın RESİM KÜ Ah 109-103 Sorunun çozumunu bak Cevap îü4?6km ve îü 3?7km 110-Yeryuzundekı ıkı noktanın coğrafi kardınatları bellidir Bu noktalar ara¬sında olan mesafeyi bulun (Resim 43) 110-Yer sathı uzenndekı noktalann ko ordı n ati arı ? adet en?n oktanın coğrafi en¬liyi ve uzunluğu ile venliyor Yerin sathı uzenndekı ıkı nokta arasında mesafe bu noktalardan (Bu halde A ve B geçen buyuk daire gousu ile ölçülüyor Malum olduğu gibi AB gov-sunun azınlığı (Resim 43)Rc-:-dır Burada 0=-AB govsune yaslanan merkezi açı olup radonlu ölçülüyor Yerin sadıusu malum olduğun dan ^açısını bul¬mak kalıyor Farzedelımkı?A noktasının koordinattan uzunluğu B ve enliği (genışlığı)f'dır B noktasının koordinatları ise uzunluğu B ve genişliği fı'dır A ve B noktalann dan mendyen mustevısı ve ekvator mustevısı geçirelim (Resim 43)mendyen mustevılen aekvator mustevısı ile OA ve OB^ doğrul an üzere kesişiyor B noktasının B proj eksi yasını ekvator mustevısı uzennde B noktasının B"projeksıyasını O A doğrusu uzermede kuralım?sonraıse OB'B1 B kmk hattını OAradıusu uzenne projeksıyalayak(43 resimde bu kuruluş =2,9 sın51 12 =5,03(km) ANB üçgeninden,sinüsler teoremine göre buluruz sın26û43 sınpjSinUBU-Gj-bj smp, sın^ty Bur dan AN= AB sın R =2,9 sın 1A°34=2)9 sın 741 AN = AB veya AN = AB (^Ş) sınl53°50' sın21û10 ■^l7?74(km) AMN üçgeninden kosmusl er teoremine göre AN 3?33km yol lOdk'ya veya_l_saata gidildığıden?gemmı hızı 3,33 6 Cevap ÎÜ 20 km/s 103-Plan da kaydedilmiş A,B ve Cgıbı uç dayak noktası malumdur Herhangi M noktasından AB ve DC parçalarının göründüğü t^ve ^ açıları ölçülmüştür (Resim 42)M noktasını plana sokun (Potenat sorusu) 103-Eğer planda noktalar belli se Dem ek bu noktalar arasındaki mesafede bellidir Bunun ıçmLABO7?AB=a ve BOb(Resım92)'de bellidir Aranılan M noktası ,AMCB yamuğunun AMve CM kenarları-nın kesiştiği noktada?yerleşıyor Boylece?M noktasını plana sok- m ak için MAB ve MCB açılarını bulmak yeterlidir Farz edelımkı,MAB açısı Xve MCB açısıY'dır AMB açge- nınden sinüsler teoremine göre BM= a ?burdan BM=a sınx (1) sm->= sm->= BMC üçgeni den sinüsler teoremine göre bulunur BM=b sıny (2) sıny sınp sınp (1) ve (2) eşitliklerinde sol taraflar eşit olduğundan sağ taraflardan eşittir a sınx=b sıny veya sınx=b sın (3) sın«>= sın p sıny a sınp ft Mal um durkı .kabarık çok kenarlının dahili açılarının toplamı 360 dır Böylece bulunur x+y=36(?-(*=+£+7) (4) Farz edelımkı,tgf=b sın^veya f=arctg b a sın p a sın (3)formulu şu sekle dönüşüyor sınx=tgf sıny Bu formül den toreyen tenasüp düzeltelim Yanı sınx-sıny=tgf-l Bu formülün her ıkı hissesini ayrı ayrı s adel eştir elim sınx+sıny tgf+1 2 cosx+y sın x-y tg x-y 2 2 2 sı nx -sı ny = -^ ; = —; ; ——r-—— Z sın x+y cos x-y tg x+y sın+sıny —- —- ö —— 2 2 2 104-ACD uç genin den (Re sim 40) sinüsler teoremine göre buluruz AC = CD burdan BOdsmf smT sm(7) sm(&f) 2 ABC üçgeninden .koşunu si er teoremine gorejAC+BC-2ACBC Cevap jA.Cf+BC-2ACBCcosC^-p)burdan AOdsmTve BC=dsınf sm(WZ) sm(p+f) 105-A?B ve C noktalan ele yerleşmıştırkı?bunlar arasındaki mesafe haritada aşağıdaki sayıları gösteriliyor AB=0,S5dm7AOl720dm,BC=l720dm B noktası A'ya göre kuzeyden yer¬leşiyor A'dan C 'ye olan istikameti bulun (Resim 41) 105-ADC dik üçgeninde (Resim 41)CosA=0,425 A^ 69" V?1 1,20 Cevap Kuzey yonune nazaran 9669 17 'dır 106-Gemı herhangi sabit duz hat boyunca hareket edıyo saat 6'da deniz fene¬ri gemiden onun hareket istikameti ile 20 lık açı ile görünüyor saat 9'daıse bu açı 33 'ye eşit oluyo Saat kaçta gemi L Fenerinden en yakın mesafede o- lac aktır 106-Farz edelımkı?gemı saat 6'da A noktasına,saat 9'daB'de ve saat x'de C'de olmuştur (Resim 90)Farz edelımkı geminin hızı Vkm/s dır O zaman AB mesafesi 3"u km olacaktır AMB üçgeninde .sinüsler teoremine göre buluruz ABpMByeyaMB^AB sın20=3u sın20P sınl^sın20P sml^ sml^ C tepesinde dik açı olan MBC üçgeninden buluruz BOMB cos33=3u_sm20_cos38_ sınlÖ" Geminin BC mesafesini olmasına harcanan zamanı bulmak için bu yakı hızı bölmek gerekir 3u sın20dcos3gaV=3 sın2CTcos38w2,6 saat sınlÖ' sınl^ 276saat=2saat37dk7x=9saat+2saat37dk=lls37dk Demekkı gemi fenere en yekin mesafeden 1 İs 37dk gelecektir Cevap saat 11 37dk 107-Bir birinden d=2?9km mesafede olan deniz sahilindeki A ve B gibi nok¬tadan duzhatlı ve beraber hızda hareket aden gemiyi müşahide edıyolar Bir sure geçtikten sonra gemi A noktasından AB yönüyle ^=10?5'lıkB nokta¬sından BA yonu ile p=51 12'lık açı ile görünüyor 10 dakkadan sonra derece¬ler değişmiş ve uygun ol arak ^=34 16 ve ^=74 34'olmuştur Geminin hızını bulun 107-AMB üçgenin de (E. e sim 91) sinüsler teoremine göre alırız AM = AB veya AM=AB Burdan AM=AB sınfl=2,9 sın5f 12* sınpsın(18Cf-^-B) sın p sınf^) sın(*d-S) =CD(tg*~-tgf3)Bu halde (tg^=-tg p)f arkını logontması alınabilecek şekle getirmek hesaplamayı s adel eştirmiyor Bu fonksiyonların natural değerlerini yazmak daha kolay olur O zaman buluruz AB«20(l,2519-0,4268)«20 0,8251 fti 16,5m Cevap Mİ6,5m 102-D ağda boyu h-o eşit olan kule vardır Dağın eteğin deki herhangi bir eşya kulenin tepesinden o* açısı altıda onun oturacağından ise p açısı altında go-runuyor (Resim 39)Dagın yüksekliğini bulun 102-ABD üçgeninde (Re sı m 39)LA£D=108-P,LADB=p-<« olduğundan sin¬üsler töre mine esasen buluruz, h = AD veya h = AD Burdan AD=h sın ADC dik sın(p-o$ sın(lSCT-p) sm(p-^) sın p sın(Ş-*^ üçgeninden dağın yüksekliğini buluruyoruz AC=AD cos^=h sınp cos ^ Cevap h sınp m(p-^ 103-Yon haritasında geminin hareket hattını bildiriyor ve deniz fenerinin ya¬nından geçeHcem onun yükseliş açısını (^=2 52)olarak ölçüyor Geminin ol¬duğu yen belli ^tmek için alının haritada kaydettiği nokta ile deniz feneri a-rasmdakı parçayı hesaplayın Deniz fenerinin yüksekliği Hîül50m?harıtanın ölçeği 1)100 000'dır 103-Gemıden fenere kadar olan 5 mesafesi aşağıdaki usulla tayın olunuyor S=H ctg*%buradaH-fenerin yüksekliği, "^-yükseliş açısıdır Osm anın haritada gemiden fenere kadar olan mesafeyi cm'ile gösterdiği doğru parçası S= 5 =H ctg^==15 ctg 252 =3cm Cevap ^ 3cm 100000 100000 100 104-Çayın kaşı sahilinde bulunan ve yanma gitmek mumkun olmayan ıkı A ve B(Resım 40)noktaları arasındaki mesafeyi ölçmek için,yeryüzünde yanın a gitmek mumkun olan C ve D gibi ele ihtiyarı nokta goruluyorkı bunardan A ve B noktaları görünsün ve CD mesafesi olçulebılsm RESİM KÜ RESİM KÛ Sonra CD=dve )sın^=127 sın36"24' ^ sın 27°47' +b'-2(a-b)b cos ABC üçgeninden kosmusler teoremine göre buluruz AB=İAD2+BD2-2AD-BDcos& = Rakamları yerme yazıp sadeleşünrsek sm36°24'cos64^1l' 465m Cevap 27°47' sın sın S? (p^ sın 36"24r+51^-254 512 h dıametn.S-bant adımı tg<*= 2 1,5 =3,0 = 1 ^^?3B'Cevap TT(8,0+7,0)15,0T 5TT 90-Yıvın iç dıametn lO.Omm.dıs dıametn,120mm,bantın yükseliş derecesi 3 24'dır Bant adımını bulun 90-Yukarıdaki usuldan(19 soruya bak)tg^=2S S-yı bulsak () S= Ti(D+d)tg^=TT(10,0+12,0)tg3>24'=lİ¥+tg3:24lS^2,lmmCevap ^,2 2 2 4-YER YÜZÜNDE ÖLÇMELER, YANINA VARILMASI MUMKUN OL¬MAYAN CİSİMLERE KADAR MESAFELEREN HESAPLANMASI 91-Denizde A noktasında yerleş en Petrol kuyusundan C noktasına kadar o- lan mesafeyi ölçmek için şöyle yapılmıştır AC istikametine perpendıkulyor olan BC duz hattını sahilde çekiyorlar,sonra ihtiyarı B noktasında açı ölçen cihazı BA istikametinde olçup CBA üçgenini ve BC parçasını ölçüyorlar (Resim 32)BC=12,6mm,=-bant yivinin yükseliş açı sı, i -Dış dıametr(sılmdırm dıametn)?d-yıvm dahi- lığı bulmak için maye tabakasının yüksekliğini ölçmek yeterledir 34-Aşağıdakı şartlara göre 1 sn'de kanaldan akan suyun miktarını bulun Ka¬naldaki suyun sathının eni 2a,kanal duvarlarının meyi derecesi f radıan?kanal dibinin ağnlıkradıusu r?suyun akış hızı ise u m /sn -di r(R e sim 30) 34-Canlı kesiti aranılan sahası ABCD tropesıyası ile CKDF segmentmm a-lanlan toplamına eşit olacaktır (Resim 30) S=(AN+CK)CM (l)COK üçgeninde COK açısı fradıondır (kenarlar kar¬şılıklı perpendıkulyor olduğu için LBAC=COF)o zaman CK=r sınf,AN=a, AM=AN-MNAM=a-rsınf AMC üçgeninden MC=AM tgf=(a-r sınfjtgf Bukunan rakamlan (l)aşıtlığmde yerme yazalım S-^a+r sm£)(a-r sınf)tgf=(^-r2sm2£)tgf Geometnden bılınıyorkı?sektorkun alanı gousunun uzunluğu ile radıusu çarpımının yarısına aşıttır yohut S ==L R dr 2 Açının r adı on olcusunun tarafına esasen _lf= -^ burada^ -bakılan godey e yaslanan çevrenin merkezi açısının radıon ölçüsüdür D emekkı?L—R ^ Bu değen sektörün saha usulün da yenne yazsak buluruz S =R-^R=1R ■>= 2 2 CKDF Sekgmentının alanı?0CFD sektörünün alanı ile OCD üçgeninin a- lanı farkına aşıttır Veya S =1 r 2f-l r sın 2f=r f-r sınf cosf "*2~ 2" O zaman kanalın canlı kesitinin sahası şöyle olur SİB^(cî-rJsın2f)tgf+K.f-r2sınf cosf bu ifadeyi s adel eşti relim Sx ^(^V+r^cos^fjtgf+r^f-r sınf cosf=(aV)tgf+r2cosf sınf-V fV sınf cosf= JW . . -ı-ı -i a-r )tgr+r r Cevap (a-r )tgr+r r 35-DıameetnD olan silindir ve ACKatetı TTD olan(R_esım 31)duzaçılı ABC üçgeninin alalım ABC üçgenini sılmdırede sany ak kı? ACKatetı silindirin o-kuna perpendıkulyor mustevıde olan çevre ile ust üste duşsun o zaman A ve C noktalan da ust üste düşer B noktası A ve C noktalan ile bir doğru uzenn-de olur AB hipotenüsü ise sılmdmn sathında bant hattı aadlanan eğn parçası meydana getınr ABC üçgenini öyle kaydıralımkı.A tepesi silindirin sathında B noktası ile ust üste duşsun yeniden üçgeni silindire sany ak ikinci bant hattı sangı alınır 73-ASO üçgeninde ASO açısı 15üdır (Resim S5),OA=R=50 tgl5=S0 tgl5° 21 ,44,AB=2R^43mm Cevap « 43mm 79-Sılındınk çubuğun ucu?dıametrelen 43mm ve 26mm-e eşit olan kesik ko¬ni şeklindedir Kesik koninin oku ile doğrusu arasındaki açı 14 dır Koni his¬senin boyunu (yüksek) bulun 79-36 resimde çubuğun koni şekilli hissesinin en kesiti gösterilmiştir Burada SS BO26mm,AD=48mm ve LABF=14*dır AF=48-26=11,BF=AF RESİM Kü Cevap 80-Sı lın dirik çubuğun ucu .yüksekliği 60mm-e?buyukdıametrı 36mm?ye ve kuçuk dıametrı 24mmlye eşit olan kesik koni şeklindedir Kesik koninin doğ ru ile oku arasında kalan açıyı bulun 30-Farzedelımkı?36?resım?ucu koni şeklinde yontulmuş vali gösterilmiştir Şarta göre Cevap fti5 43 31-Dıametrı A=154?2mm olan sil m dirik valin ucuna koni şekli vermek iste¬niyor (9 Soruya bak) oylekı koninin meyi derecesi ^ =3 30?yan tul on uzun¬luğu ise H w 270?0mm olsun Vali tezgaha koymak ıçm yontmadan sonra onun ucunun d dıametrınm ne kadar olacağını bilmek lazımdır Bu dıametrı bulun (Resim 27) J n _■ X L »+- K II / :-j ■■—!»—■ 31-Farzedelımkı?36?resım?ucu koni şeklinde yontulmuş vali gösterior Şarta l Cevap ^lS 32-Ok kesiği Resim 23'de dosterılen bidonun hazırlanmasına ne kadar tene¬ke lazımdır (Ölçüler mm ile veri İm ıştır) Eğilme patı ve kayıplar %3'dır RESİM KÜ 32-Bıdonun 5 tam sathı ıkı silindirin yan sathı ile bir kesik koninin yan sathı ve bir de oturacağın sahaları toplamından ıbaretdır (Resim 23) ABCD silindirinin ^yan sathı şöyle olur 0,3 hesap ediliyor) 76-Tahıl ambarının en kesitinin taranan bölümünün alanı (Resim 25JABCD dikdörtgeni ile CDEF trop e siy asının alanları toplamına eşit olacaktır CDEF trop e sı yasının alanı şöyledir Str=CD+EFKE veya trop e sı yanın eşit Z kenar olduğunu dikkate alsak,Str=2CD-2DK KE=(CD-DK)KE KE=3-2,2=0,Sm ve DK=KE ctg41=0,8 ctg41* Stı=<5,2-0,3 ctg41) 0,3^3,3m ABCD dikdörtgenin alanı=5,2 2,2= =ll,44m2'dır Tahılın bu bolüme hacmi şöyle olur =(11,44+3,37) 6=33,36m bu tahılın ağırlığı ıse=33,36 0,3 ^71, İm olur Cevap w71,lm-dır 77-Ufuktan f=lü 30'lık açı altında yükselen yerde hendek kazmak isteniliyor (Resim 26)Hendeğin yan tarafının meyi açısı 63 10,aşağıdan eni 6=14,2m, ortadan derinliği h=9,2m-dır Hendek boyunca hermetre uzunluğa kaç m top¬rak düşer 77-FMN dik üçgeninde (Re sı m 26)FNkatetı söyle hesaplanır FN=MNctgf=hctgf=9,2ctg 1^30'^ 27,5m 26 resimden goruluyorkı 2 AFD üçgenin alanını hesaplayalım=SJ.JıjD=l FAFD sırf Sinüsler teoremine göre 2 FA =FD veya FD=FA sın t* yerdeğıştırme yaparak alırız smf^+f) sın^ sm(^+f) J sınf Anolojık olarak BFC üçgenini sahası söyle olur >FT^ () S>FT^FBJsın(180-^)sınf = FBsmc- sınf 2sm|Î30-(130o-(13Cf--)-f] 2sın(«-f) Bu formülde değerlen yerme yazarak 2smS6D40l 3'S°30 ^ 231?4(m2) 2sın49°40' ABCD dikdörtgeninin sahası.BFC ve AFD üçgenlerinin alanları farkı gibi bulunabilir 231,4-61,4=17(W Aynı fıgur oturacağı ABCD dikdörtgeninin .yüksekliği İm olan prizma gibi baksak, çala boy unca bir metrenin hacmi hesaplanabilir O zaman buluruzkı hacmi 170m-dır Cevap 170m 73-Sılındırıkçubuğun ucu .yüksekliği 30mm?tepe açısı 30 olan konuş şeklin¬dedir Çubuğun dıametrını tayın edin b-)Hendeyın dibini örmek için 1,8 0,1 c-)Şogulı duvarlann örülmesi ıçın(onlann sahası 71 soruda hesaplanmıştır) 2 12 0,l=2,4m d-)Butun hendeğin onılmesı için 14,3+2,4+3,6=20, Sn? Cevap ^21m5 73-Değışen elektrik transformatörünün silindir makarasının demir içliği var¬dır Bu içliğin kesiği haç şeklindedir (Resim 22)Makaranm radıusu r olursa, kesıym AB tarafı merkezden 2saçısı altında gonınurs e,ke sı yın alanını bu¬lun KF=AP -dır 73-22 resimden malumdur kı,BCFK=ADEP-dır D em ekkı,kesitin aranılan a-lanı ıkı BCFK dik üçgeninin alanı ile A^E^ bor esinin alanları farkına eşit ol acak(Çunkı,BCFK,dik üçgeninin alnını ıkı kat artırmca,ADEP karesinin sahası ıkı defa hesaplanmış oluyorJO zaman buluruz Sı=2BCBK-AıDj-LakınAıDı=BC-dır Ozaman S^BCBK-BC2 BOC üçgeninde BM=rsın^ve OM=rcos^olduğundan BE=2BM=2r sın.* olur ve BK=2BN^ZOM=2rCos ** bulunur Yerdeğıştırme yapılınca SİB=2 2r sın^ 2r cos->=-2r sın^ =2r (4) Cevap 2i*sın 74-23 Resimde suvarma kanalının kesiği gösterilmiştir (Ölçüler metre em¬si n sı dır) suyun orta akma hızı l,6m/sn olursa 1 saniyede kanaldan ne kadar su akar 74-Kanalın canlı kesiti şöyle bulunur (66 soruya bak) S =1 0,8sın65fti 0?29m Kanalın canlı kesitinin alanını akış hızıyla çarpsak, " 2 o zaman bir saniyede akan suyun hacmini bulabiliriz V=0,29 l?6=0?464m5 Cevap ^0?46m5 RESİM KÜ 75-Kesıyı tropesıya şeklinde olan kanalın ölçülen metre il e (Re sı m 24'de) verilmiştir Suyun ortalama akış hızı Vm/sn olursa 1 saniyede kanaldane ka¬dar su akar 75-Canlı kesitin alanını bulalım (65 soruya bak) Burdan (a+b)-hendeym oturacaklannm toplamının yansını,(b-a) tgf-ıse hendeğin yüksekliğidir Kanaldan bir saniyede geçen suyun hacmi şöyle olur (74 soruya bak) ^=(b-a)vtgfm Cevap (b-a)vtgfm olur 76-Resım 25'de tahıl anbarının bir hissesinin en kesiği gostenlmıştır (Olçu-ler metreyle venlir)Ancak tahıl anbannın Resimde taranmış hissesi dolduru¬lur Hissenin uzunluğu Ğm'dır Hisseye ne kadar tahıl koyulur (Hususi ağırlık den tam raks edip başlangıç noktasına donuyor) Raksın (wt+f )penodu?x=Rcos(wt+f )ve y=Rsın(wt+f Jfonksıyonlarının perıoduna eşit dır Hakikat de de bu fonksiyonlar t zamanını T kadar artınca kendi değerlerini değişmiyor Rsm[w(t+T)+f )]=Rsın twt+wT+f) Lakın 5 'den gorunuyorkı?wT=2iT dır ?o zaman foksıyon şöyle oluyor Bunun analojik olarak?ıkıcı fonksiyon için de doğru olduğunu ısbatlamak mümkündür Bilavasıta 44 resimden görmek olurkı?T-den kuçuk başka bir öyle pozitif sayı yokturkı?bu fonksiyonlar için perıod olsun B noktasında kendinin en buyuk +R değerini alıyor Fonksiyonun yeniden aynı değen alması için nokta en az bir defa devr etmelidir Demekkı?bunun ı-çın fonksiyon en azından T=2T saniye zaman lazımdır W Raks penodunun ters dağenne raksın tezliği deniliyor Yanı 1 = w T 2TT Raks tezliği ?bır zam an da(l s anı ye de) noktayı kaç tane tam raks ettiğini ge- tenyor Mesai a?bu halde M noktasının y proy eksi yasının tezliği n-dır Aslında da 1= w = 2~im = n oluyor A sağıda, s a de harmonık raksa ait birkaç çalışma ve T 2T 2TT soru venliyor 122-Mmoktasının proy eksi yası BD =16cm dıametr boyunca sade harmonık raks edıyo onun ok uz enn den deki proy eksıy asının zaman bağlı olarak değiş¬me kanunu şöyledir T = 8 sın (ir t +ır) 4~ J M noktasının y proy eksıy asının hareketi başlangıcında ve 2,4 ve 3 saniye geçtikten sonra durumunu bulun Hareket başladıktan kaç saniye sonra y proyeksıyası birinci defa B noktası ile ust üste gelir (Resim 44) HAEMONIK HAREKETLER 122-Farzedelım kı,P noktası (Resim 100)hareketın başlangıcında BD dıamet- n nın orta noktası olan O-dan OP mesafesinde yerleşiyor Hareket başlangı¬cında t=O' dır P noktasının durumunu bulmak için BD nın ortasında P noktasının durumunu açıklayan usul a l=o yazsak lazım dır Bu halde S=0P=8sın (¥ 0+j)=8sınT =8 l=4(cm) ıkı saniye 4 6 6 2 EZSİ^™ iû geçtikten sonra yanı 1=2 olunca P noktasının durumu yine şöyle olur S=sın (T 2+Tp=8sın (j+Tp=BcosTT=43" (cm), 4 6 2 6 6 1F4 olunca S=8sın(T4+l|)=8sın (¥+]0=8sınT= 4 (Yanı o noktasından 4cm 4 6 6 6 aşağıda oluyor ) t=8 olunca =S=8sın(£8H^)=8sın(2¥H^)=8sın2=4Ccm) 4 6 6 6 Nıhayet?P nokta ilk defa B noktasına varınca,onun O noktasından mesafe¬si 3cm olacaktır (Bidıametnnm O noktasında)Boylece?bu anda S=3 oluyor Bu değen verilen usulde yerme yazsak ve denklemi t'ye göre halletsek?bulu-ruz,8=8sın ("TTt+Tl)veya sın (Tt+T)=l 4 6 4 6 Burdanm+TT=3T_?1 ı=l,t=4=l lson Cevap OP^cm?4J3cm^lcm?4cm 1 lson 4624333 3 123-M noktasından y projeksıyası çevre üzere eşit hızla hareket ettikçe u-zunluğu 12 cm olan BD dıametrı boyunca sade hormonıkraks ediyor (Resim 44)y proyeksıyası BD mesafesini 14 saniyede gidiyor y pr oy eksıy ası .çevre¬nin Omerkezı ile ust üste düşen başlangıç durumundanLnoktasına doğru ye¬rini değişiyor Proyeksıyanm?t zamanından asılı (bağlı) olması kanununu ifa¬de e dm 123-Hareketm amplıdası R =CC= 6 (25 sayfadaki harmonik harekete ait ıza- ~2~ hatabakJOP mesafesi şu usulle bulunur OP=Rsm (wt+f) Bu halde hareke¬tin evvelınde?yanı 1=0 olanda OP=O ve damekkı f =o oluyor Bılıyorkı w=TTdur O zaman usul şöyle olur S=6sın t?burada S-P noktası- 14 nın CC parçasının ortasından hesaplanan ve t zaman bağlı olarak mesafeyi gösteriyor Cevap S=6sın~n~ t dır 14 124-Nokta,dıametrı 20 cm olan çevre üzere eşit hızla,saat akrebi hareketinin oksme?sanıyede tam 3 devr ederek hareket adıyor Noktanın başlangıç vazı¬yetinin ufki dıametrın sağ ucu ile ust üste düştüğünü bilerekin oktanın pro-yoksıyasının şagulı di ametr üzerinde çevre merkezinden olan mesafesinin değişme kanununu ifade eden düsturu bulun 124-Bır saniyede nokta 3 tam devr edır Yanı 6Tr adi anlık yol gidiyor fo=O,R=20 (44 Resim bak)Buluruzkı,S=20 sın 6TTt Cevap S=20 sın 6irt 125-Değışen elektrik okımının y şiddeti t olursa aşağıdaki düsturla bulunu¬yor Y=Asın (wt)amper?burada A-amperle en buyuk akım şıddetı?t-sanıye ile zam an?w-raks tezliğini ifade edıyır A=200 amper ve w=100 olursa?l=0?375 sn olursa akım şiddetini hesanlavm 125-Şartta verilen malum değerlen usulde yerme yazsak buluruz Y=200 sın (100T0,375)=200 sın 37,5TT Sın 37,5 j vuruğunu sadel eştir elım,o zaman Sın 37,5ır=sın (2Tİ8+I,5ır)=sın (ır+Tr)=-sın T= -1 2 2 O halde y= -200 amper Cevap y= -200 amper 126-Dahılıyanma muherrıkınm nazım çakı,sanıy ede n devr ederek eşıtde do¬nuyor Nazım çarkın dairesi üzerinde alınmış M noktası ile araba döşemesi musteyısı arasında kalan değişen mesafeyi fonksiyon ile ifade edin dikkate a-lınkı bu mustevı dönme okuna paraleldir ve ondan a metre mesafededir 126-Farz edelımkı,101 resimde M noktasından geçen ve dönme okuna per- pendıkulyor olan mustevı ile çarkın kesiti gösterilmiştir O noktasından koordinat oklarını öyle geçırelımkı,absıs oku NN,hattına paralel olsun M noktası A1 da olduğu andan başlayarak zamanı he¬saplayalım Farz edelımkı,t saniye geçtikten sonra radus AOM= =2~imt radıanlık açı çizer aranılan mesafe S=MM=MP+ mı PM=MP+a OMP üçgeninden buluruz MP=OM sın== 0 olursa surungeç l^n oktasın da ve onun 0 noktasından mesafesi r+L = 144cm olur Eğer çarkkolu ^=32 -lık açı kadar dönerse, o zaman 1^ surungecı kendi yerini Nnoktasıyla değişir Bu halde N noktasının 0 noktasmdanmesafesı ON parçası ifade olunur, bu parça ise aşağıdaki gibi bulunur ON=OP+PN=r cos^+L cosp N surun de cinin kendi ilk durumundan yer değişme sı NoN parçası ile goste- rılebılır?bu ise şöyle bulunur Bu ışıtlıkte yalnız cosp meçhuldür Sın|3=r sın** olduğunu bılerek(153 so- &T mya bak), p açısını bulumzSınp=24sın32=0,2 0,5299^0,1O6J=6PJ o zaman 120 yerdeğı sürme yapar ak bul uruz NoN=24(l-cos32)+120(l-cos^5)^l73cm(Bu halde (l-cos32) ve (1-COSĞ 5)ıkıhadlılerı logarıtlemekıçm elverişli şekle ge¬tirmeye ihtiyaç yoktur Çunkı?bu farkları fonksiyonun naturel değerlerinden sıtıfıde etmekle hesaplamak daha sadedir) Cevap w4?3cm-dır 155-Çarkkolunun oktan en çok aralandığı hal için surgu kolunun ufki muste-vı ile meydana getirdiği açıyı bulun (154 sorudaki şartlar aynı kalıyor) 155-OM çarkkolu ANo okuna perpendıkulyor olduğunda onun ufki mustevı-den mesafesi en buyuk olacaktır Malumdurkı?bu fark T radıana aşıttır De- y mekkı?^=¥dır O zaman (153 soruya bakjbuluruz T Sınp^_sıno<24jınjp=0,2ve p=l f 32" Cevap lf 32 L 120 2 156-ı=20cm ve L=100cm (Resim45) olursa,çarkkolu surgu kolu birbirine per-pendıkulyor olunca ->=ve paçıları neye eşittir 156-Şartagore buluruz »=+^=90 Malumdur kı?tgp=r veya tgp=0?2 ^ ve p a- L" çılan sivri açılar olduğundan p=lf 19'«=90°-lf 19=78a4l' Cevap=lfl? ve 73D4l' 157-Çarkkolu OA1 durum un dan OB'durumuna gelince (Resim 45)surungecm yer değişmesini bulun r =15cm ? L=75cm - dır 157-OM çarkkolu O A1 durumun a gelince N surungecı C noktasında olacaktır Malumdur ki?CNo=2r=30cm olur Çarkkolunun sonraki OB'durumundaN su¬rungecı C noktasından No noktasına doğru N noktasına kendi yerini değişe¬cektir NoN parçası böyle bir usulla bulunabilir (154 sorunun çözümüne bak)şartagore?r =15?^=3ir?L—75 sınfî=r sın-^=l sın T" L T -lf32° NoN=15+75 0,0202^16,5 2 CNsurungecmm istenilen yer değişmesi şöyle olur CN=OTo-NNo=30-l 6,5=13,5cm Cevap=13,5cm KÛ 153-51 Resimde gösterilmiş oynak mil mekanizmasında surungec OA çubu¬ ğu O noktası etrafında dönerken MN oku boyunca ilerleme hareketi ediyor Çubukları uzunluğu AO=r,AB=L ve O nok¬ tasından MN okuna kadar mesafe h olursa,surungecm sol ™ 5| kenar durumundan sağ kenar durumuna yerini dağışırken A noktasının meydana getirdiği gousun uzunluğunu bulun 153-Eğer Lh+r olursa,o zaman B surungecı C noktasından geçmez ve onun sol ve sağ kenar durumları C noktasından ya solda,yada ancak sağda olabilir (Resim 103)Bujıalde aranılan gous A^VA^A+TT olur OB,C üçgeninden bul uruz ,AB=L+r cosc~=h, *>* =arc L+r cos h OB C üçgeninden OB=L-r,cos \$= h ?P=arc L+r L^ cos h o zaman B O B açısı şöyle olur î>=-p=arc cos h KÛ IÛİ L-r L+r -arc cos_h_Aranılan A Agovsu ise şöyle bulunurT+arc cos_h_-arc cos h L-r l 2 L+r L-r Cevap 2arc cos_h_?T+arc cos_h_-arc cos h L+T L-h- L-r 159-52 Resimde gostenlen link -kulis mekanizmasının (Mancınığının) kolu¬nun OB şagulı durumundan en buyuk aralanma açısmı?hamde D surungecı-nın yolunu hesaplayın Kolun radıusu OCpR/II ş amirinden surungecm okuna kadar olan OB mesafesi h-dır 159-OC B üçgeninden buluruz Cos ->=hı^=arccosh_qB=JE5?",Gı 0= R R Cevap arc cos h 2-jR-h R 160-AB A üçgeninden (53 Resıme bakjbuluruz tg =AA=AAÎBQ=L OAA^çg eninden buluruz OA=rcosf AA=rsınf Burdan tgp= rsınf (1) L+rcosf ARAŞTIRMA Hangi halde surungecm" döneceğini" hangi halde" sallanaca-ğmı"bulalım (53 Resim bak) a-)L>r olursa (1) eşitliğinin sağ tarafının mahracı sıfır olamaz Çunku bu hal¬de f-nın ihtiyarı değerinde (>lcos) olur Demekkı?f dönme açısının hiç bir de¬ğerinde p açısı TT değerini alamaz AB çubuğu ise tam devr yapamaz y b-)Ll=OL d, d?L tgx x-istenilen açının yansıdır SOL üçgeninden buluyoruz OL=05 tg.^32 tg4*45' Bölgece d= 2=32 tg4n45' 2 tg x tg x d d ve L- nın değerlerini İmza usulünde yerine yazsak buluruz 1+ tgx =1 .budan tgx W 0.297 x Ml^30',2x w3?Cevap w 33° 32 32tg4û45' 7 EE51Uİ-Ü 51 162-Ağırlığı P olan cisim ufki mustevı uzennde ufukla saçısı meydana geti¬ren kuvvetin tesin altında eşit suretle hareket ediyor Sürtünme emsali P -ye eşit olursa tesir eden kuvveti bulun «-nın hangi değerinde tesir eden kuvvet en kuçuk olacak ve o neye eşittir c~-nm hangi değennde tesir eden kuvvet en buyuk olacak ve o neye eşittir 162-Ufkı mustevı uzennde,cismin eşit hızla hareket etmesi için,T sürtünme I P: T— ü s* r P kuvveti ve F kuvvetinin eşitliği lazımdır (Resim 105)Lakm Buradan N-cismin mustevı uzenndekı normal basıncıdır N=P-Q,demekb,T=(P-Ç)kveF=(P-9)kJabn,F=Rcos^ve Q=Rsın^(l)eşıtlığınde yerdeğıştırme yapınca?buluruz =P k-R ksın-^ burdan Rcos-^+Rksm^=P kveyaR= Pk Yardımcı dahil etmekle bu kesin logorıtması alınacak elvenşlı duruma ge¬tirelim Farz edelımkı?ctgf=k'dır O zaman kesnn mahreci aşağıdaki gibi olur ctgf sın*c+cüs^=sın(&*+f) Lakın sınf= 1 = 1 demekkı. sınf jl+ct^f cos od-ksın ->==-Jl+^ sm(->=+f )=Jl+k?sın(^+arc ctg k) Ni h ay et?bulur uz R ,= Pk kg ■Jl+k2sın(o=+arc ctgk) o=-nm arctg k-danir_-ye kadar azalması zamanı etki eden kuvvet artar ve ** 2 X— olunca en buyuk P değerini alır 2 163-Hızı 60/ saat olan otomobilin yan penceresine Sm/sn hızla şagulı guşen yağış damlası iz bırakıyor Şagulı ıstıkametde damla ızı arasındaki açıyı bu¬lun 163-Şartagore hızlar par el ogramı kuralım (Resim 106) Resimde V-yağmur damlasının düşme hızı/^ -(Şartı ol ar ak) otomobil m hızı ve V2-yedek hızdır Aranılan açısının tangesı şöyle olur tfl^ = y2= 1000 S^J^c- w 64° Cevap ÎÜ64° 164-Bır çok hallerde praktıkhayatda detelm mustevı açılarına esasen?ıkı yuz lu açıların değennı tayın etmek gerekiyor Uç yuzlu açının mustevı açılan « pve f olursa,onun ıkı yuzlu açılannı bulun 164-Farz edelımkı?A?B ve C açılan?*^?p ve7açıları karşısında duran uygun çıfttaraflı açılardır (Resim 107)A açısının yanmdaKnoktasmı alalım Sade- İÜ? tiki çın OK=1 kabul edelim Farz edekkı p ve 7 açısı sıvn açılardır O zaman uçyuzlu açının kesitinde KMN üçgeni oluşurkı.buruda da LNKM=A-dır KMN üçgeninden buluruz l^Kl^+KM^KN KMcosA OMNuçgenmden NM=ON^-OM-2ON OM cos« NMıçm bulunan ıkı ifadeyi birbirine eşi ti e s ek buluruz IOT4-iai-2KNKMcosA=ON^-OM-20NOM cos^ dikkate alsakkı, Olf-Kt^=l,OM-KM=l,o zaman buluruz 2KNKM CosA=2ON OM cos^=-2 (Burdan 2'yle sadeleştirme yapsak) CosA^ONOMcos^- 1 veya CosA=ON OMcos^- 1 KNKM KNKM KN KM KNKM OKN üçgeninden buluruz KN=ON sın 0 OKM üçgeninden buluruz KM=OM sm7_l_=ctg7 KM yerdeğıştırme yaparsak buluruz CosA= 1 cos^-ctgŞ ctg7 sınp sın"Z veya CAftT sınpsınT Eğer fi açısı kor?~Z açısı keskındırse?o zaman mustevı?7 açısının uzantısını keser Bu halde buluruz LNKM=TT-A7LNOK=-|r-pXNOM=TT-^ (1) Usulünün kendi gücünde kaldığına inanmak zor değildir Analojik olarak?p açısı keskm^ıse kor veya hem R?hem de7kor olduğu hal için (1) usulünün doğruluğunu muayyen etmek olur Hem de fî veya ~Z açıla¬rından bınnın duz açı olduğu halı de dikkate olmak faydalıdır 165-En kesiği 54 resimde gösterilen (ölçüler metre il e) hendek kazılmıştır Hendeğin dibini ve duvarlarını tahta ile örtmek isteniyor Hendeğin uzunluğu 40m olursa ortunun alanını bulun s -TD — ■ S! T] 1 vw* RESİM Kü SA 165-Tahtaıle örtülen ve talep olunan saha (Resim 54) böyle olur S=40(BC+CD+DE+2AB)=40C4,5+2 AB) Boylehkle,sorunun halli AB'nın bulunmasına getiriliyor ABBx üçgeninde AB= ABı Lakın ABı= 7-1,5 = 2,75 , o zaman Cos32° 2 AB = 2,75 ^3,24 , S = 40(4,5+6,48) % 440m3 Cevap « 440 m2 olur Cos32° 166-Kanalm dibinin eni l,2m-dır Duvarın meyi derecesi 62-dır Kanalın dibi¬ne ve duvarına 200m mesafeye dek döşeme çekilmiştir Döşemenin kenarı kanalın dibinden l,3m yükseklikte olursa döşeme çekilen alanı bulun (Resim 55) 166-Istenılen döşemenin alanı şöyle olur (Resim 103) RESİM KÛ 55 S = 200(2AB+BC) BC = 1,2 , ABF üçgeninden buluruz, AB = BF = 1,8 ^2,28 S=200+(2,56+l,2)=200 3,76 ^752m Cevap W752m 167-Oturacağının dametrı 260 mm,doğrusunun oturacakla meydana getirdi¬ği açı 53 olan koni şeklinde kapak hazırlamak için ne kadar teneke lazımdır (Pay %5-dır) 167-S^=TTRL,R=130, L= R = 130 Böylece ıstenelen yüzey söyle olur cos53' cos5S* ^TTR^ 130 wl002cm %5 kayıp w 50cm'teşkil ediyor. cos53° 1002cm+50cm2=105cm2^110cm2 Cevap wll0cm2 163-56 Resimde demiryolu yatağının kesıyı gösterilmiştir (ölçülermetre ile) Yatağın meyi açısı*^=b olursa,her metre uzunlukta kaç m toprak işletilmiştir RESİM KÜ 163-Duz prizmanın oturacağı olarak onun kesitini gösterelim,şart a göre yük¬sekliği İm olan bu prizmanın hacminin hesaplanması,kesitin alanının hesap¬lanmasını benzetiliyor (Resim 109) Aranılan S alanı ABCF trap e siy asının falanı ile FDV üçgeninin S alanı toplamına eşit olacaktır yanı _o * Esıtkenar ABMD trop e sı yasın da LADM=180-148=32 Bu halde LADC = 32V=26",LAFC=LBFC=32"AFC üçgeninde FK=AK ctg32=0,8 ctg32=l,28 o zaman,FO8,5+2 1,28=8,5+2,56=11,06 ABCF trop e sı yasının olanı şöyle bulunur 5 = 8,5+11,06 0,8 = 19,56 0,4 = „ 2 =7,83m'DCF üçgeninde LFC i=6 ve L AFC=148-dır Bu üçgenin S,sahası ı- se S=J_AF FC sın 143 Bu üçgenden sinüsler teoremine esasen yazarız, 2 AF = FC ,burdan F=FC sın6 o zaman üçgenin alanı şöyle olur sın6 sın26 sın 26" S==l FCsm6*FC sın 14B=FC sın6%ın32 M 2 sın 26 2 sın 26 Kesitin alanı ise aşağıdaki gibi olur Toprağın uzununa ölçülen her metrının hacmi ise w 15?6m3 olur Cevap ^15,6m3 169-Çıflıkte gol için oturacaklarının tarafları a = 8m ve b = 16m olan duzgun paralel kenar pramıt şeklinde çala kazılmış dır Yan taraflar oturacakla 108lık açı meydana getiriyor (Resim 57)Gol ne kadar su alır 57 169-Farz edelımkı?(110 resim) gol için açılan kanalı gösteriyor O zaman go¬lün aranılan hacmi şöyle olur V=l (Q+g+^|Q g )H?burada? ^l-buyuk oturacağın alanı \ V^ g-kuçuk oturacağın alanı "6 H-pramıdm oturacağıdır MÜ MM,F üçgeninde LM?MF=72 ve MF 16-8=4 olur O zaman 2 M,F=H4tg72 = 43078 = 12,3 olur V=J_ (256+64+ JT6İT) 1 3 Cevap fti 1330m3 olur 70-Kurn tepesi koni şeklinde olup,oturacağının çevrisi 12,6rn - dır Kumun ıususı çekisi l,6,kum tepesinin meyi derecesı31 olursa.ana talşıyıp bitirmek çın yukunu kendi boşaltan 2 tonluk araba kaç sefer yapmalı 70-Koninin oyuracağının çevresi S=2TR=42,6m o zaman R=42,6=21,3 koninin hacmi ise V=l R H , H = Rtg3l" o zaman 2TT T 3 3 3 V=TrRtfl31=Y21,3te31=21,3tfl31° 3 3T* 3-rf Kumun ağırlığı şöyle olur P = 21,3 tg31 1,6 ^ 31?3m 3TT' Talep olunan seferlerin soyu 31,3 2 = 16 olur Cevap yukunu kendi başaltan kamyon 16 defa doldurulmalıdır

Bu yazıyı ilk değerlendiren siz olun

• Currently 0/5 Stars.
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5

Matematik trigonometrik fonkstyonlar