1. GİRİŞ 1.1. İntegral Denklemlerin Tarihçesi İntegral denklemler, bilinmeyen fonksiyonun integral işareti altında bulunduğu denklemler olarak tanımlanmakla birlikte, bu tanım yetersiz kalmaktadır. Bir başka deyişle, bu tanımdan hareket ederek, integral denklemlerin bütün türlerini kapsayacak teoriyi kurmak olanaksızdır. Bu nedenle, birbirinden ayrı nitelikteki integral denklemleri tek tek incelemek gerekmektedir. Böylece geniş bir araştırma sahası açılmış olmakta ve konu bu oranda dağınık bir inceleme tarzı göstermektedir. İntegral denklemlerle ilk uğraşılar 19. yüzyılın ilk yarısında başlamıştır. Önceleri dağınık ve rastgele araştırmalar yapılmışken, aynı yüzyılın sonlarına doğru daha sistematik ve bilinçli araştırmaların yapıldığı ve bir takım sonuçların alınmaya başlandığı izlenmektedir. ABEL 1823 yılında bir mekanik problemini incelediği esnada ilk defa integral denkleme rastladığı bilinmektedir. Ancak İntegral Denklem deyimini Du Bois REYMOND’un (1888)’de yayınlanan bir çalışmasında önerdiği anlaşılmaktadır (Bocher, M., 1913). Fizik ve mühendislik uygulamalarda zaman zaman bilinmeyen fonksiyonun integral işareti altında olan denklemlerle karşılaşılır. Bu tür denklemlere integral denklemler denir. Genellikle karşılaşılan diferansiyel denklemler ise, bilinmeyen fonksiyonun değişik türevlerinden oluşurlar. Türev, bir fonksiyonun bir nokta ve hemen yakınındaki değerleri kullanarak bulunduğundan, diferansiyel denklemler lokal (yerel) denklemlerdir. Bilindiği gibi tabiat kanunları diferansiyel denklemler yardımı ile ifade edilebilirler. Bundan, yakın çevre incelendiğinde evrenin tamamında geçerli tabiat kanunlarının bulunabileceği sonucu çıkarılabilir. Belki de büyük düşünür Albert Einstein’ın “Bu tabiatın en anlaşılmaz yönü anlaşılabilir olmasıdır” sözünün altında yatan gerçeklerden bir tanesidir (Bayın, S. S., 2000 s.249). İntegral denklemler ise bütün uzay üzerinden integral alınması gerektirdiklerinden global (evrensel) denklemlerdir. Bu da aranan fonksiyonun bir noktadaki değerinin o fonksiyonun bütün uzay üzerinden integralini içeren ifadeler cinsinden bulunması demektir. İntegral denklemler genel olarak çözülmesi çok daha zor denklemlerdir. Diferansiyel denklemlerin önemli bir özelliği, tek başlarına bir problemi tanımlamaya yetmemeleridir. Onlara sınır şartlarının da ilave edilmesi gerekir. İntegral denklemler ise, bir problemin tam tanımını verirler. İlave şartlara ne gerek vardır, ne de koşulabilirler. Ancak, sınır şartları da uzayın bütününde onların ilgilenilen bölgeye etkisinin dolaylı yoldan denklemlere dahil edilmesi olarak yorumlanabileceğinden, integral denklemler ile diferansiyel denklemler arasında yakın bir ilişki olması da doğaldır. Bu çalışmada görülebileceği gibi diferansiyel denklemler temelde integral denklemler olarak da ifade edilebilirler. Uygulamalı bilim dallarında bazı problemler tek bir denklem ile ifade edilemezler, ancak onun yerine birden çok bilinmeyen fonksiyon içeren diferansiyel, integral veya bunların kombinezonundan oluşan integrodiferansiyel denklemlerin bir bütünü olarak ifade edilirler. Bu tip diferansiyel denklem sistemleri, bilhassa parçalı olanlar, birçok fizik ve mühendislik dalında ortaya çıkmaktadır. Örneğin, diferansiyel denklem sistemleri; Elastikiyet teorisi (Ezechias, J., 1988), Dinamik (Kant, T., Varaiya, J. & Arora, H.C.P., 1990), Akışkanlar mekaniği (Agarwal, R.S. & Bhargava, R., Balaji, A.V.S., 1990), Devre problemleri (Zimmerman, W.R., 1996), Salınım problemleri (Pesterev, A.V., Bergman, L.A., 1997 ; Gürgöze, M., 1992), Kuantum dinamiği (Greenspan, D., 1998) gibi konularda, integral ve integrodiferansiyel denklem sistemleri ise Elektromanyetik teori (Bloom, F., 1980), Termoelastikiyet (Kopeikin, I.D. & Shiskin, V.P., 1984), Biyoloji (Holmaker, K., 1993), Mekanik (Yue, Z.Q. & Selvadurai, A.P.S., 1995, Abadzadeh, F. & Pak, R.Y.S., 1995), Dalgaların kırınımı (Büyükaksoy, A. & Alkumru, A., 1995) gibi alanlarda ortaya çıkmaktadır. Sistemlerin çözümü için şu ana kadar sunulmuş genel bir yöntem yoktur. Sabit katsayılı diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü bulunabilmekte; fakat değişken katsayılı diferansiyel denklem sistemlerinin çözümü ile ilgili literatürde pek fazla çalışma yoktur. Bu nedenle fizik ve mühendislik alanlarında önemli bir yeri olan bu tip sistemlerin yaklaşık çözümlerinin bulunmasının faydalı olacağı düşünülmüştür. İki ve daha yüksek mertebede değişken katsayılı diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerini bulmak oldukça güçtür. Bu yüzden yaklaşık çözümlere gerek duyulmaktadır. Çoğu zaman bu tip denklemler normal formdaki diferansiyel denklem sistemlerine dönüştürülerek çözümleri araştırılmıştır. Bu nedenle sistemler konusunda yapılan çalışmaların hemen hemen hepsi birinci mertebeden sistemlere ilişkindir. Bunların çözümü için Euler, Runge-Kutta yöntemi gibi birkaç standart yöntem mevcuttur. Ancak yüksek mertebeden diferansiyel denklem sistemleri ile ilgili çözüm yöntemleri mevcut değildir. Bu tür sistemler için yapılan araştırmalarda sadece birinci mertebeden diferansiyel denklem sistemleri için sayısal yöntemlerden bahsedilmiştir. Bu tez çalışmasındaki amaç, daha önce Volterra ve Fredholm integral denklemler için verilen Taylor polinom yöntemini (Sezer, M., 1992 ; Sezer, M., 1994) lineer değişken katsayılı diferansiyel denklem sistemlerinin yaklaşık çözümleri için geliştirmek, uygulamak ve önemli özelliklerini ortaya çıkarmaktır. Yöntem; sistemleri bir matris denkleme dönüştürmeye dayanmaktadır. Bu matris denklem bilinmeyen Taylor katsayılarından oluşan bir lineer cebirsel sisteme karşılık gelir. Böylece cebirsel sistemin çözümünden bulunan Taylor katsayıları kullanılarak verilen diferansiyel denklem sisteminin sonlu Taylor seri formunda yaklaşık çözümü elde edilmektedir. 1.2. İntegral Denklemlerin Sınıflandırılması İntegral denklemler farklı özelliklerine göre aşağıdaki gibi sınıflandırılabilir. 1.2.1. Lineer ve Lineer Olmayan İntegral Denklemler İntegral denklemler temel kavramlar açısından öncelikle, lineer ve lineer olmayan integral denklemler olarak iki büyük sınıfa ayrılır. u(x) bilinmeyen fonksiyon olmak üzere, (1.2.1) yapısında bir integral denklemde, u(x) fonksiyonunun lineer olması halinde integral denklem de lineer integral denklem adını almaktadır. (1.2.2) integral denkleminde ise u(x) bilinmeyen fonksiyonun n. kuvveti bulunduğundan lineer olmayan bir integral denklem olmaktadır. Bunun gibi, daha genel olarak, (1.2.3) integral denklemi de lineer olmayan integral denklem olmaktadır. Bunların dışında birden çok sayıda değişkeni bulunan, (1.2.4) şeklindeki integral denklemlerin de lineer olanı veya lineer olmayanı bulunmaktadır. Bu çalışmada genellikle lineer integral denklemler incelenecektir. Ele alınacak bir integral denklemin öncelikle lineer olup olmadığının saptanmasında yarar vardır (Aksoy, Y., 1983 s.1). 1.2.2. Tekil ve Tekil Olmayan Lineer İntegral Denklemler İntegral denklemlerin sınıflandırılmasında K(x,t) fonksiyonunun sürekliliği önemlidir. K(x,t) fonksiyonuna çekirdek fonksiyon denir. K(x,t) fonksiyonu aralığında sürekli ise integral denklem Tekil (Singüler) olmayan bir integral denklemdir. Eğer K(x,t) bu aralıkta sürekli değilse integral denklem Tekil (Singüler) integral denklem sınıfına girmektedir. Örneğin olmak üzere, (1.2.5) şeklindeki bir integral denklem Tekil integral denklem sınıfına girmektedir. Ayrıca, integral sınırlarından en az birinin sonsuz olması halinde de denklem, tekil integral denklem sınıfında olacaktır. (1.2.6) ve (1.2.7) denklemleri bu türe birer örnek teşkil etmektedir. Bunların ilkinde, denklemin ikinci yanı ile tanımlanan f(x) fonksiyonu, u(x)’in Fourier Sinüs Transformasyonu, ikincisinde ise u(x)’in Laplace Transformasyonu olarak kullanılır (Aksoy, Y., 1983 s.2). 1.2.3. İntegral Denklemlerin Yapılarına Göre Sınıflandırılması İntegral denklemler, yapılarına göre üç sınıfa ayrılır. Bilinmeyen fonksiyon u(x), çekirdek fonksiyon K(x,t) olmak üzere, (1.2.8) şeklindeki bir integral denkleme I. cins integral denklem denir. Bilinmeyen fonksiyon sadece integral içinde mevcuttur. Burada (x) fonksiyonu bilinen bir fonksiyondur. Benzer şekilde, (1.2.9) şeklindeki bir integral denklem de yine I. cins integral denklemdir. Burada da (x) ve f(x) bilinen fonksiyonlardır. Ancak bu denklemler, olmak üzere (1.2.10) şeklinde ifade edilerek (1.2.8) yapısında yazılabilir. (1.2.11) ve (1.2.12) gibi denklemler, I. cins integral denklemlere birer örnektir. (1.2.13) veya (1.2.14) şeklindeki integral denklemler ise II. cins integral denklemler sınıfına girmektedir. Görüldüğü gibi, bilinmeyen u(x) fonksiyonu integralin hem içinde hem de dışında bulunmaktadır. (1.2.15) ve (1.2.16) bu tür denklemlere birer örnektir. Bu iki cins integral denklemden başka (x), f(x) ve K(x,t) fonksiyonları bilinen, (1.2.17) şeklindeki integral denklemlere ise III. cins integral denklemler denilir. Örneğin, (1.2.18) denklemi III. cins bir integral denklemdir. Özel olarak ise (1.2.17) denklemi I. cins bir integral denkleme, ise aynı denklem II. cins bir integral denkleme dönüşmektedir. Buradan I. ve II. cins integral denklemlerin, III. cins integral denklemlerin birer özel hali olduğu görülmektedir (Aksoy, Y., 1983 s.3). 1.2.4. Homojen ve Homojen Olmayan İntegral Denklemler İntegral denklemler bir de bilinmeyen u(x) fonksiyonunun homojen olup olmadığına göre sınıflandırılabilir. II. cins integral denklemler için söz konusu böyle bir sınıflandırma (1.2.13) ile verilen, (1.2.19) integral denklemi için yapılırsa, (1.2.19) denklemi homojen integral denklem olarak adlandırılır. Homojenliği bozan bir f(x) fonksiyonu içeren (1.2.14) formundaki, gibi denklemlere ise homojen olmayan integral denklemler denir. homojen olmayan integral denkleminin kolayca görülebildiği gibi olan bir çözümü vardır. Buna aşikar çözüm veya trivial çözüm denir. Ancak bunun dışında çözümlerinin bulunup bulunmadığının veya hangi koşullar altında çözümün olabileceğinin araştırılması başlı başına bir konudur. Homojen integral denklemler daha genel bir yapıya sahip şeklindeki bir integral denklemin f(x)=0 olması haline uyan özel bir durumu olarak göz önüne alınabilir (Aksoy, Y., 1983 s.4). 1.2.5. Volterra ve Fredholm İntegral Denklemleri İntegral denklemler integral sınırlarının değişken veya sabit olmasına göre de sınıflandırılırlar. Lineer ve homojen olup olmadıklarına bakmasızın, gibi denklemlere Volterra İntegral Denklemleri denilmektedir (Aksoy, Y., 1983 s.5). Bu tür denklemlerde, integral işaretinin üst sınırında (veya sınırlarından birinde) x değişkeni bulunmaktadır. x değişkeninin x=b gibi sabit bir değere eşit olması halinde yazılabilecek, şeklindeki denklemlere ise Fredholm İntegral Denklemleri denilmektedir (Aksoy, Y., 1983 s.5). Volterra ve Fredholm integral denklemleri arasındaki tek fark bu sınır yapısında ortaya çıkmaktadır. Ancak bu iki denklem türünün incelenmesi, zaman zaman iç içe girmiş bir görünüm verebilmektedir. 1.3. İntegral Denklemlerle Diferansiyel Denklemler Arasındaki İlişkiler Başlangıç koşullarıyla verilen, değişken veya sabit katsayılı bir diferansiyel denklem, Volterra tipindeki bir integral denkleme dönüştürebildiği gibi, bir integral denklem de diferansiyel denkleme dönüştürülebilir. Dolayısıyla, bir integral denklem başlangıç koşulları için sağlanan diferansiyel denklemin bir sınır değer problemi olarak da göz önüne alınabilir. 1.3.1. Diferansiyel Denklemin İntegral Denkleme Dönüştürülmesi (1.3.1) lineer diferansiyel denklemi göz önüne alınsın. Ayrıca sayıları n tane olan, (1.3.2) başlangıç koşullarının da verildiği kabul edilsin. (1.3.1) denklemine (1.3.3) dönüşümü uygulanırsa, bu ifade şeklinde hesaplanarak, türev mertebesi bir mertebe düşürülmüş olur. Benzer şekilde hareket edilerek, elde edilir ve böyle devam edilirse, olur. Bir kere daha integral alınırsa, bulunur. Burada da görüldüğü gibi sık sık çok katlı integrallerle işlem yapmak zorunda kalınacaktır. Bunu kısaca göstermek için, şeklindeki notasyonun kullanılması uygun bulunmuştur. İntegraller arasındaki (n) katlılık mertebesini göstermektedir. Probleme tekrar dönülür ve yukarıda bulunan ifadeler (1.3.1)’de yerine yazılırsa, elde edilir. Bu ifadeyi de şeklinde düzenlersek, eşitliğin sağ tarafı x’in bir fonksiyonu olup bu F(x) ile gösterilebilir. Burada, şeklinde göstermek suretiyle, olduğu görülür. Eşitliğin sol tarafı ise, (1.3.4) ifadesi yardımıyla tek katlı integral olarak ifade edilebilir (Aksoy, Y., 1983 s.13). Teorem 1.3.1. 1.3.4 ile verilen şeklindeki bağıntı aşağıdaki gibi ispatlanabilir. Bu bağıntı yardımıyla çok katlı bir integral, tek katlı bir integral olarak ifade edilmektedir. İspat: (1.3.4) bağıntısı aşağıdaki gibi düzenlenip, sağ tarafı ile gösterilsin ve bu ifade daha genel incelenmiş olması için alt sınırı da a olarak alsın. (1.3.5) olsun. Burada n pozitif bir tam sayı, a bir sabittir. (1.3.12) ile verilen ve integral işareti altında türev almaya yarayan Leibnitz Formülünden yararlanarak alınırsa, türev alındığında, bulunur. Böylece n > 1 için, (1.3.6) olur. Özel olarak n=1 ise, (1.3.5)’den (1.3.7) bulunur. (1.3.6)’dan türev almaya devam edilirse,  ve nihayet n. mertebeden türev için (1.3.9) bulunur. Bunun böyle olduğu (1.3.7)’den kolayca görülür. iken olduğuna dikkat edilirse, (1.3.8) bağıntısından, ’in ve onun ilk (n-1) adet türevinin x=a için sağlandığı sonucuna varılabilir. olduğu (1.3.5) bağıntısından kolayca görülür. Şimdi, yukarıdaki bağıntılardan, geriye doğru hareket edilerek, integral işlemleri yapılırsa (1.3.7)’den elde edilir. Keza yazılabilecektir. Burada birer parametredir. İşlemlere bu şekilde devam edilirse, bulunur. İfadeyi düzenlemek için, her iki tarafı (n-1)! bölüp, yerine (1.3.5) bağıntısındaki eşiti yazılırsa, ve burada kabul edilirse, gösterilmek istenilen, bağıntısı bulunmuş olur. Buna göre, (1.3.10) ifadesi (1.3.4) yardımıyla, şeklindeki ifade elde edilecektir. Bu ise belirli integral özelliklerinden faydalanılarak, olarak yazılabilir. Burada köşeli parantez içindeki ifade K(x,t) fonksiyonu olarak göz önüne alınırsa, olur. Bu çekirdek fonksiyon olup, yerine yazıldığında, şeklindeki II. cins Volterra integral denklemi elde edilir. Böylece (1.3.3) ile verilen diferansiyel denklemi bir integral denkleme dönüşmüş olur. Örnek 1.3.1. (1.3.11) başlangıç koşullarıyla verilen diferansiyel denklemi aşağıdaki gibi bir integral denkleme dönüşür. Çözüm: denirse, buna göre bu ifade şeklinde yazabilir. Bu ifadenin her iki tarafı 0 ’dan x’e belirli integrali alınırsa, ifadesi bulunur. Buradan da bu ifadenin tekrar belirli integralini alırsak, bulunur. Diğer taraftan (1.3.4) bağıntısı gereğince yazılabileceğinden bulunan ifadelerini (1.3.11)’de yerine yazılırsa, bulunur. Bu ifade de, şeklinde düzenlenir ve ile gösterilirse, (1.3.11) diferansiyel denklemi, şeklinde bir Volterra integral denklemine dönüştüğü görülür. Örnek 1.3.2. Aşağıda verilen diferansiyel denklem ve sınır şartları ele alınsın. (1.3.4) formülü kullanılarak bu sistem integral denklemine dönüşür. Örnek 1.3.3. Bu seferde diferansiyel denklemi ve sınır şartları ele alınsın. Bu denklemin aralığında integrali alınırsa bulunur. Burada c bir integral sabiti olup değerini gösterir. İkinci bir integral alma işlemi ifadesini verir, dikkat edilirse şartının kullanıldığı görülmektedir. c değeri ise ikinci sınır şartını sağlayacak şekilde belirlenmesi gerektiğinden ifadesi elde edilir. Sonuç olarak da veya şeklinde ifade edilir. Bu denklemde, şeklinde yazılırsa olur. Bu da II. cins Fredholm integral denklemidir. 1.3.2. İntegral Denklemin Diferansiyel Denkleme Dönüştürülmesi Yukarıda sözü edildiği gibi bir integral denklemin bir diferansiyel denkleme dönüştürülmesi de olanaklıdır. Bunun için Leibnitz Formülü’nün uygulanması yeterlidir. Bu formül, integral işareti altında türev alma işlemini gerçekleştirir. Leibnitz formülü, (1.3.12) olup, burada A(x) ve B(x) ’in sabitler olması halinde, olacağından formül, olarak kullanılır (Aksoy, Y., 1983 s.21). Örnek 1.3.4. (1.3.13) integral denklemi verilsin, başlangıç koşulunun x=0 için u(x)=0 olduğu bilindiğine göre bu integral denklem bir diferansiyel denkleme aşağıdaki gibi dönüştürülür. Çözüm : Her iki tarafın türevi alınırsa, elde edilir. Bu ifadeye Leibnitz Formülü uygulandığında, bulunacağından (1.3.13) integral denkleminin, şeklindeki birinci mertebeden bir lineer diferansiyel denkleme dönüştüğü görülür. 1.4. İntegral Denklemlerin Yaklaşık Çözümleri 1.4.1. Fredholm İntegral Denklemlerin Taylor Serisi Yardımıyla Yaklaşık Çözümü Bu kısımda, Taylor seri çözümlerine sahip bazı Fredholm integral denklemler incelenmiştir. Bu denklemlerin çözümü için kullanılan yöntem, R. P. Kanwal ve K. C. Liu tarafından sunulan yöntemin bir genellemesidir. Bu yöntemle ilk olarak integral denklemin her iki tarafının n kez türevi alınır ve sonra sonuç denkleminde bilinmeyen fonksiyonun Taylor seri açılımı yerine konulur. Burada lineer cebrik sistem uygun bir yerde kesilerek yaklaşık bir çözüm bulunur. Elde edilen çözüm, bir Taylor seri yaklaşımı olup bu Taylor seri açılımının katsayıları bir lineer cebrik sistemin çözümleridir. Katsayılar çekirdeğe bağlı matris denklemi yardımıyla hesaplanır. Yöntem, bazı lineer Fredholm integral denklemlere uygulanarak aşağıdaki gibi açıklanabilir. Bu kısımda, I. ve II. cins lineer Fredholm integral denklemlerinin yaklaşık çözümleri incelenmiştir. Bu denklemler, (1.4.1) ve (1.4.2) şeklinde tanımlanabilir. Bu denklemlerdeki a ve b sabitleri , integralin sınırlarıdır. Her iki denklemde de y bilinmeyen bir fonksiyon , f(x) ve K(x,t) bilinen fonksiyonlardır. reel veya kompleks bir parametredir. Eğer çekirdek fonksiyonlar K(x,t)=K(t,x) şeklinde birbirine eşit ise simetriktir. Bununla beraber, (1.4.1) ve (1.4.2) denklemlerindeki a ve b integral sınırlarından biri veya her ikisi sonsuz, ya da K(x,t) çekirdek fonksiyonu verilen aralıkta sürekli değilse integral denklem Tekildir (Singülerdir). Eğer (1.4.2) denkleminde f(x)=0 ise integral denklem homojendir. 1.4.2. Materyal ve Metot (1.4.2) ile verilen Fredholm integral denklemini göz önüne alınsın ve (1.4.3) formunda bir Taylor seri çözümünü aransın. (1.4.2) denkleminin x’e göre n defa türevi alınıp ve x yerine c değerini konulduğunda, (1.4.4) elde edilir. Sonra y(t) t = c’de Taylor serisine açılırsa, (1.4.5) elde edilir ve bu (1.4.4)’de yerine konulduğunda, elde edilir. Bu düzenlendiğinde, ,(n,m=0,1,2,...,n) (1.4.6) elde edilir. (1.4.6)’daki, (1.4.7) formundadır. Böylece Taylor katsayıları ile sonsuz (1.4.6) bağıntıları bir sonsuz lineer cebrik sistem oluştururlar. (1.4.6) sistemi, uygun bir yerde kesilerek yaklaşık çözülebilir (n,m=0,1,2,...,N). Bu taktirde, T.Y = F matris denklemi elde edilir. T.Y=F (1.4.8) matris denklemindeki matrisler, şeklindedir. (1.4.1) integral denkleminin çözümü için (1.4.8) matris denklemini kullanılabilir. Bu yüzden T matrisi, (1.4.9) olup eğer ise (1.4.8) denklem, (1.4.10) şeklinde yazılabilir. (1.4.10) yardımı ile bilinmeyen katsayılar belirlenir ve bu değerler (1.4.3) ’de yerine konulursa (1.4.11) Taylor seri çözümü elde edilir (Sezer, M., 1992 s.17-24). Örnek 1.4.1. şeklindeki homojen olmayan Fredholm integral denkleminin çözümü aransın. Burada, , f(x)=x, a=0, b=1 olup c=0 ve N=2 alınırsa değerleri aşağıdaki gibi hesaplanabilir. olup ve değerleri belirlenir. Bu değerleri T.Y = F (1.4.8)’de yerine yazılırsa, veya matris denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlenirse, elde edilir. Burada ve değerleri denklem sisteminde yerine yazılırsa, olur. Buradan , elde edilir. Bu değerler (1.4.11)’de yerine yazılırsa, elde edilir. Bu elde edilen tam sonuçtur. 1.4.3. Volterra İntegral Denklemlerin Taylor Serisi Yardımıyla Yaklaşık Çözümü Bu kısımda da, Volterra integral denklemler için aynı Taylor seri çözüm yöntemi incelenmiştir. (1.4.12) Volterra integral denklemini göz önüne alınsın. (1.4.13) şeklindeki x=c noktasında ki Taylor serisi çözümünü aransın. 1.4.4. Materyal ve Metot (1.4.12) denkleminin (1.4.13) şeklinde bir çözümünü elde etmek için ilk olarak x ’e göre n defa türev alınırsa, (1.4.14) olur. Buradaki, (1.4.15) dır. n=0 için, olur. n defa integralin diferansiyeli ile ilgili Leibnitz kuralı I(x) integraline uygulanırsa, için (1.4.16) ifadesi elde edilir. Buradaki, (1.4.17) dır. Fonksiyonların çarpımının diferansiyeli ile ilgili Leibnitz kuralından ’i hesaplanıp (1.4.16) denkleminde yerine konursa, böylece (1.4.15) denklemi, (1.4.18) elde edilir. (1.4.18) denkleminde, olduğuna dikkat edilmelidir. İlk olarak (1.4.14) denkleminde x=0 yazılıp sonra buradan (1.4.18) denkleminde ve sonra t=c noktasındaki y(t) Taylor açılımı yani, ifadesi yerine yazılırsa veya kısaca (1.4.19) elde edilir. (1.4.19)’daki (1.4.20) ve (1.4.21) şeklinde tanımlanırlar. (1.4.19)’da n=0 için olur. (1.4.20)’de elde edilir. (1.4.18) bağıntısından sonsuz lineer denklem elde edilir. y(x)’in N.dereceden bir Taylor polinomuna yaklaştığı kabul edilirse, n,m=0,1,2,...,N koyulabilir. Sonra (1.4.18) denklemi bilinmeyen katsayıları için (N+1) bilinmeyenli, (N+1) denklemden oluşan bir lineer denklem sistemi ortaya çıkar. Bu sistem standart metotlarla nümerik olarak çözülebilir ya da bu sistem, (1.4.22) şeklindeki matris denklemi haline getirilir ve ise (1.4.21) matris denklem (1.4.23) şeklinde yazılır. (1.4.22)’deki T, Y ve F matrisleri, şeklindedirler. Böylece katsayıları (1.4.23) denklemiyle tek bir şekilde belirlenir. Bu yüzden (1.4.12) integral denkleminin çözümü tektir. Bu çözüm, (1.4.24) Taylor polinomudur. (1.4.21) integralinin değerini hesaplamak genelde zordur. Bu yüzden c=a seçilmesi uygun olur. Böylece, değerleri (1.4.19) denkleminin bir rekürans bağıntısına indirgenir ve aşağıdaki gibi kolayca hesaplanır. (1.4.25) Bu bağıntıdan bilinmeyen katsayılar kolayca art arda hesaplanır. Ek olarak olduğunda Taylor seri çözümü elde edilir (Sezer, M., 1994 s.625-633). Örnek 1.4.2. (1.4.26) lineer Volterra integral denkleminin 5. dereceden bir Taylor polinomu ile y ’in yaklaşık bir fonksiyonu bulunmak istensin. Burada, seçilirse, ilk olarak ve değerleri , (n,m=0,1,...,5) ifadeleri yardımı ile (1.4.27) ve , (n,m=0,1, ... ,5) (1.4.28) olarak bulunur. Sonra fonksiyonu ve türevlerinden, (1.4.29) değerleri elde edilir. Daha sonra (1.4.27), (1.4.28), (1.4.29) değerleri (1.4.22) matris denkleminde yerine konulursa, matris denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlenirse, olur. Buradan da değerleri elde edilir. Bu değerler (1.4.24) denkleminde yerine yazılırsa, bulunur. Burada =1 ve yeterince büyük bir n alındığında tam çözüm olan ’in elde edileceği görülmektedir. Aynı sonuçlar, (1.4.25) bağıntısı ile de kolayca bulunur.

Matematik İntegral denklemlerin tarihçesi